Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89946 / 24563
↖ ↑ ↗
← N 74.029371°
E 67.044067°		 ← 84.04 m → N 74.029371°
E 67.046814°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
N 74.028615°
E 67.044067°		 ← 84.04 m →
7 062 m²		 N 74.028615°
E 67.046814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686237335205078 y=0.187404632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686237335205078 × 217)
    floor (0.686237335205078 × 131072)
    floor (89946.5)     		tx = 89946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187404632568359 × 217)
    floor (0.187404632568359 × 131072)
    floor (24563.5)     		ty = 24563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89946 / 24563 ti = "17/89946/24563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89946/24563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89946 ÷ 217
    89946 ÷ 131072     		x = 0.686233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24563 ÷ 217
    24563 ÷ 131072     		y = 0.187400817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686233520507812 × 2 - 1) × π
    0.372467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17013972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187400817871094 × 2 - 1) × π
    0.625198364257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.96411858813256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17013972} λ = 1.17013972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96411858813256))-π/2
    2×atan(7.12862656422422)-π/2
    2×1.43142629213427-π/2
    2.86285258426854-1.57079632675     		φ = 1.29205626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17013972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.044067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29205626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.029371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89946 KachelY 24563 1.17013972 1.29205626 67.044067 74.029371
    Oben rechts KachelX + 1 89947 KachelY 24563 1.17018766 1.29205626 67.046814 74.029371
    Unten links KachelX 89946 KachelY + 1 24564 1.17013972 1.29204307 67.044067 74.028615
    Unten rechts KachelX + 1 89947 KachelY + 1 24564 1.17018766 1.29204307 67.046814 74.028615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29205626-1.29204307) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29205626-1.29204307) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17013972-1.17018766) × cos(1.29205626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275144563877975 × 6371000     		do = 84.0362320293527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17013972-1.17018766) × cos(1.29204307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275157244757831 × 6371000     		du = 84.0401050964664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29205626)-sin(1.29204307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275144563877975-0.275157244757831)×R²
    abs(1.17018766-1.17013972)×1.26808798556199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26808798556199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26808798556199e-05×40589641000000     		ar = 7062.02059756353m²