Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8994 / 11979
↖ ↑ ↗
← S 63.656012°
E 17.622070°		 ← 1 084.20 m → S 63.656012°
E 17.644043°		 →
↑
1 084.03 m
↓
↑
1 084.03 m
↓
S 63.665760°
E 17.622070°		 ← 1 083.83 m →
1 175 098 m²		 S 63.665760°
E 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548980712890625 y=0.731170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548980712890625 × 214)
    floor (0.548980712890625 × 16384)
    floor (8994.5)     		tx = 8994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731170654296875 × 214)
    floor (0.731170654296875 × 16384)
    floor (11979.5)     		ty = 11979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8994 / 11979 ti = "14/8994/11979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8994/11979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8994 ÷ 214
    8994 ÷ 16384     		x = 0.5489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11979 ÷ 214
    11979 ÷ 16384     		y = 0.73114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5489501953125 × 2 - 1) × π
    0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.4622802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45229631088922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30756315} λ = 0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45229631088922))-π/2
    2×atan(0.234032259763537)-π/2
    2×0.229894669233072-π/2
    0.459789338466145-1.57079632675     		φ = -1.11100699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11100699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.656012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8994 KachelY 11979 0.30756315 -1.11100699 17.622070 -63.656012
    Oben rechts KachelX + 1 8995 KachelY 11979 0.30794664 -1.11100699 17.644043 -63.656012
    Unten links KachelX 8994 KachelY + 1 11980 0.30756315 -1.11117714 17.622070 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 8995 KachelY + 1 11980 0.30794664 -1.11117714 17.644043 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11100699--1.11117714) × R
    0.00017014999999998 × 6371000     		dl = 1084.02564999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11100699--1.11117714) × R
    0.00017014999999998 × 6371000     		dr = 1084.02564999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30756315-0.30794664) × cos(-1.11100699) × R
    0.000383489999999986 × 0.443759331824863 × 6371000     		do = 1084.19936271498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30756315-0.30794664) × cos(-1.11117714) × R
    0.000383489999999986 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 1083.82680748298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11100699)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443759331824863-0.443606846159856)×R²
    abs(0.30794664-0.30756315)×0.000152485665007029×R²
    0.000383489999999986×0.000152485665007029×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152485665007029×40589641000000     		ar = 1175097.99201792m²