Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89933 / 24573
↖ ↑ ↗
← N 74.021812°
E 67.008362°		 ← 84.07 m → N 74.021812°
E 67.011109°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
N 74.021056°
E 67.008362°		 ← 84.08 m →
7 065 m²		 N 74.021056°
E 67.011109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686138153076172 y=0.187480926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686138153076172 × 217)
    floor (0.686138153076172 × 131072)
    floor (89933.5)     		tx = 89933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187480926513672 × 217)
    floor (0.187480926513672 × 131072)
    floor (24573.5)     		ty = 24573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89933 / 24573 ti = "17/89933/24573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89933/24573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89933 ÷ 217
    89933 ÷ 131072     		x = 0.686134338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24573 ÷ 217
    24573 ÷ 131072     		y = 0.187477111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686134338378906 × 2 - 1) × π
    0.372268676757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.16951654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187477111816406 × 2 - 1) × π
    0.625045776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.96363921913636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16951654} λ = 1.16951654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96363921913636))-π/2
    2×atan(7.12521014059305)-π/2
    2×1.43136032904825-π/2
    2.86272065809651-1.57079632675     		φ = 1.29192433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16951654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.008362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29192433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.021812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89933 KachelY 24573 1.16951654 1.29192433 67.008362 74.021812
    Oben rechts KachelX + 1 89934 KachelY 24573 1.16956448 1.29192433 67.011109 74.021812
    Unten links KachelX 89933 KachelY + 1 24574 1.16951654 1.29191114 67.008362 74.021056
    Unten rechts KachelX + 1 89934 KachelY + 1 24574 1.16956448 1.29191114 67.011109 74.021056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29192433-1.29191114) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29192433-1.29191114) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16951654-1.16956448) × cos(1.29192433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275271399363078 × 6371000     		do = 84.0749708512485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16951654-1.16956448) × cos(1.29191114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275284079764018 × 6371000     		du = 84.078843772089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29192433)-sin(1.29191114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275271399363078-0.275284079764018)×R²
    abs(1.16956448-1.16951654)×1.2680400939602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2680400939602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2680400939602e-05×40589641000000     		ar = 7065.27595002451m²