Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89930 / 24554
↖ ↑ ↗
← N 74.036170°
E 67.000122°		 ← 84 m → N 74.036170°
E 67.002869°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
N 74.035415°
E 67.000122°		 ← 84.01 m →
7 059 m²		 N 74.035415°
E 67.002869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686115264892578 y=0.187335968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686115264892578 × 217)
    floor (0.686115264892578 × 131072)
    floor (89930.5)     		tx = 89930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187335968017578 × 217)
    floor (0.187335968017578 × 131072)
    floor (24554.5)     		ty = 24554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89930 / 24554 ti = "17/89930/24554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89930/24554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89930 ÷ 217
    89930 ÷ 131072     		x = 0.686111450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24554 ÷ 217
    24554 ÷ 131072     		y = 0.187332153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686111450195312 × 2 - 1) × π
    0.372222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.16937273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187332153320312 × 2 - 1) × π
    0.625335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96455002022914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16937273} λ = 1.16937273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96455002022914))-π/2
    2×atan(7.13170274606264)-π/2
    2×1.43148563292514-π/2
    2.86297126585029-1.57079632675     		φ = 1.29217494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16937273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.000122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29217494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.036170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89930 KachelY 24554 1.16937273 1.29217494 67.000122 74.036170
    Oben rechts KachelX + 1 89931 KachelY 24554 1.16942067 1.29217494 67.002869 74.036170
    Unten links KachelX 89930 KachelY + 1 24555 1.16937273 1.29216175 67.000122 74.035415
    Unten rechts KachelX + 1 89931 KachelY + 1 24555 1.16942067 1.29216175 67.002869 74.035415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29217494-1.29216175) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29217494-1.29216175) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16937273-1.16942067) × cos(1.29217494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275030462648518 × 6371000     		do = 84.001382576911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16937273-1.16942067) × cos(1.29216175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275043143959003 × 6371000     		du = 84.0052557755499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29217494)-sin(1.29216175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275030462648518-0.275043143959003)×R²
    abs(1.16942067-1.16937273)×1.26813104845969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26813104845969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26813104845969e-05×40589641000000     		ar = 7059.09208223843m²