Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8993 / 9185
↖ ↑ ↗
← S 21.309846°
E 17.600097°		 ← 2 276.23 m → S 21.309846°
E 17.622070°		 →
↑
2 276.04 m
↓
↑
2 276.04 m
↓
S 21.330315°
E 17.600097°		 ← 2 275.91 m →
5 180 426 m²		 S 21.330315°
E 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548919677734375 y=0.560638427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548919677734375 × 214)
    floor (0.548919677734375 × 16384)
    floor (8993.5)     		tx = 8993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560638427734375 × 214)
    floor (0.560638427734375 × 16384)
    floor (9185.5)     		ty = 9185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8993 / 9185 ti = "14/8993/9185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8993/9185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8993 ÷ 214
    8993 ÷ 16384     		x = 0.54888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9185 ÷ 214
    9185 ÷ 16384     		y = 0.56060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54888916015625 × 2 - 1) × π
    0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.380810730581726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30717965} λ = 0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.380810730581726))-π/2
    2×atan(0.683307206539129)-π/2
    2×0.599434674274829-π/2
    1.19886934854966-1.57079632675     		φ = -0.37192698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37192698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.309846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8993 KachelY 9185 0.30717965 -0.37192698 17.600097 -21.309846
    Oben rechts KachelX + 1 8994 KachelY 9185 0.30756315 -0.37192698 17.622070 -21.309846
    Unten links KachelX 8993 KachelY + 1 9186 0.30717965 -0.37228423 17.600097 -21.330315
    Unten rechts KachelX + 1 8994 KachelY + 1 9186 0.30756315 -0.37228423 17.622070 -21.330315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37192698--0.37228423) × R
    0.000357249999999976 × 6371000     		dl = 2276.03974999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37192698--0.37228423) × R
    0.000357249999999976 × 6371000     		dr = 2276.03974999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30717965-0.30756315) × cos(-0.37192698) × R
    0.000383499999999981 × 0.931628789349577 × 6371000     		do = 2276.22859099874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30717965-0.30756315) × cos(-0.37228423) × R
    0.000383499999999981 × 0.931498901201934 × 6371000     		du = 2275.9112380802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37192698)-sin(-0.37228423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931628789349577-0.931498901201934)×R²
    abs(0.30756315-0.30717965)×0.000129888147642698×R²
    0.000383499999999981×0.000129888147642698×6371000²
    0.000383499999999981×0.000129888147642698×40589641000000     		ar = 5180425.65436794m²