Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8993 / 4962
↖ ↑ ↗
← N 82.044219°
W130.599976°		 ← 84.55 m → N 82.044219°
W130.594482°		 →
↑
84.54 m
↓
↑
84.54 m
↓
N 82.043459°
W130.599976°		 ← 84.56 m →
7 148 m²		 N 82.043459°
W130.594482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137229919433594 y=0.0757217407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137229919433594 × 216)
    floor (0.137229919433594 × 65536)
    floor (8993.5)     		tx = 8993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0757217407226562 × 216)
    floor (0.0757217407226562 × 65536)
    floor (4962.5)     		ty = 4962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8993 / 4962 ti = "16/8993/4962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8993/4962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8993 ÷ 216
    8993 ÷ 65536     		x = 0.137222290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4962 ÷ 216
    4962 ÷ 65536     		y = 0.075714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.725555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27939958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075714111328125 × 2 - 1) × π
    0.84857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66586686167056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27939958} λ = -2.27939958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66586686167056))-π/2
    2×atan(14.3804099706948)-π/2
    2×1.50136904553546-π/2
    3.00273809107093-1.57079632675     		φ = 1.43194176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27939958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.599976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43194176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.044219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8993 KachelY 4962 -2.27939958 1.43194176 -130.599976 82.044219
    Oben rechts KachelX + 1 8994 KachelY 4962 -2.27930370 1.43194176 -130.594482 82.044219
    Unten links KachelX 8993 KachelY + 1 4963 -2.27939958 1.43192849 -130.599976 82.043459
    Unten rechts KachelX + 1 8994 KachelY + 1 4963 -2.27930370 1.43192849 -130.594482 82.043459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43194176-1.43192849) × R
    1.32699999999542e-05 × 6371000     		dl = 84.5431699997079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43194176-1.43192849) × R
    1.32699999999542e-05 × 6371000     		dr = 84.5431699997079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27939958--2.27930370) × cos(1.43194176) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.138408797068496 × 6371000     		do = 84.5472185346464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27939958--2.27930370) × cos(1.43192849) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.138421939334999 × 6371000     		du = 84.5552465075906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43194176)-sin(1.43192849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138408797068496-0.138421939334999)×R²
    abs(-2.27930370--2.27939958)×1.3142266503563e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.3142266503563e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.3142266503563e-05×40589641000000     		ar = 7148.22922500025m²