Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8993 / 26078
↖ ↑ ↗
← S 72.282382°
W 81.199951°		 ← 371.78 m → S 72.282382°
W 81.188965°		 →
↑
371.75 m
↓
↑
371.75 m
↓
S 72.285725°
W 81.199951°		 ← 371.71 m →
138 195 m²		 S 72.285725°
W 81.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274459838867188 y=0.795852661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274459838867188 × 215)
    floor (0.274459838867188 × 32768)
    floor (8993.5)     		tx = 8993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795852661132812 × 215)
    floor (0.795852661132812 × 32768)
    floor (26078.5)     		ty = 26078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8993 / 26078 ti = "15/8993/26078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8993/26078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8993 ÷ 215
    8993 ÷ 32768     		x = 0.274444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26078 ÷ 215
    26078 ÷ 32768     		y = 0.79583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41720650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.5916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8588012196673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41720650} λ = -1.41720650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8588012196673))-π/2
    2×atan(0.1558593595569)-π/2
    2×0.154615388606622-π/2
    0.309230777213244-1.57079632675     		φ = -1.26156555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41720650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26156555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.282382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8993 KachelY 26078 -1.41720650 -1.26156555 -81.199951 -72.282382
    Oben rechts KachelX + 1 8994 KachelY 26078 -1.41701475 -1.26156555 -81.188965 -72.282382
    Unten links KachelX 8993 KachelY + 1 26079 -1.41720650 -1.26162390 -81.199951 -72.285725
    Unten rechts KachelX + 1 8994 KachelY + 1 26079 -1.41701475 -1.26162390 -81.188965 -72.285725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26156555--1.26162390) × R
    5.83499999999848e-05 × 6371000     		dl = 371.747849999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26156555--1.26162390) × R
    5.83499999999848e-05 × 6371000     		dr = 371.747849999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41720650--1.41701475) × cos(-1.26156555) × R
    0.000191749999999935 × 0.304325989182476 × 6371000     		do = 371.776573180262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41720650--1.41701475) × cos(-1.26162390) × R
    0.000191749999999935 × 0.304270406324769 × 6371000     		du = 371.70867097966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26156555)-sin(-1.26162390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304325989182476-0.304270406324769)×R²
    abs(-1.41701475--1.41720650)×5.55828577075146e-05×R²
    0.000191749999999935×5.55828577075146e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.55828577075146e-05×40589641000000     		ar = 138194.520550917m²