Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8993 / 11489
↖ ↑ ↗
← N 75.184385°
W130.599976°		 ← 156.20 m → N 75.184385°
W130.594482°		 →
↑
156.22 m
↓
↑
156.22 m
↓
N 75.182980°
W130.599976°		 ← 156.21 m →
24 402 m²		 N 75.182980°
W130.594482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137229919433594 y=0.175315856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137229919433594 × 216)
    floor (0.137229919433594 × 65536)
    floor (8993.5)     		tx = 8993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175315856933594 × 216)
    floor (0.175315856933594 × 65536)
    floor (11489.5)     		ty = 11489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8993 / 11489 ti = "16/8993/11489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8993/11489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8993 ÷ 216
    8993 ÷ 65536     		x = 0.137222290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11489 ÷ 216
    11489 ÷ 65536     		y = 0.175308227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.725555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27939958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175308227539062 × 2 - 1) × π
    0.649383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04009857403035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27939958} λ = -2.27939958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04009857403035))-π/2
    2×atan(7.69136733058901)-π/2
    2×1.44150569286795-π/2
    2.88301138573591-1.57079632675     		φ = 1.31221506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27939958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.599976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31221506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.184385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8993 KachelY 11489 -2.27939958 1.31221506 -130.599976 75.184385
    Oben rechts KachelX + 1 8994 KachelY 11489 -2.27930370 1.31221506 -130.594482 75.184385
    Unten links KachelX 8993 KachelY + 1 11490 -2.27939958 1.31219054 -130.599976 75.182980
    Unten rechts KachelX + 1 8994 KachelY + 1 11490 -2.27930370 1.31219054 -130.594482 75.182980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31221506-1.31219054) × R
    2.45199999999723e-05 × 6371000     		dl = 156.216919999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31221506-1.31219054) × R
    2.45199999999723e-05 × 6371000     		dr = 156.216919999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27939958--2.27930370) × cos(1.31221506) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.255709244074713 × 6371000     		do = 156.20037019334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27939958--2.27930370) × cos(1.31219054) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.255732948799401 × 6371000     		du = 156.2148502595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31221506)-sin(1.31219054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255709244074713-0.255732948799401)×R²
    abs(-2.27930370--2.27939958)×2.37047246888777e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.37047246888777e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.37047246888777e-05×40589641000000     		ar = 24402.27175143m²