Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89924 / 24540
↖ ↑ ↗
← N 74.046743°
E 66.983643°		 ← 83.93 m → N 74.046743°
E 66.986389°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.045988°
E 66.983643°		 ← 83.93 m →
7 048 m²		 N 74.045988°
E 66.986389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686069488525391 y=0.187229156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686069488525391 × 217)
    floor (0.686069488525391 × 131072)
    floor (89924.5)     		tx = 89924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187229156494141 × 217)
    floor (0.187229156494141 × 131072)
    floor (24540.5)     		ty = 24540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89924 / 24540 ti = "17/89924/24540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89924/24540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89924 ÷ 217
    89924 ÷ 131072     		x = 0.686065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24540 ÷ 217
    24540 ÷ 131072     		y = 0.187225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686065673828125 × 2 - 1) × π
    0.37213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.16908511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187225341796875 × 2 - 1) × π
    0.62554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96522113682382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16908511} λ = 1.16908511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96522113682382))-π/2
    2×atan(7.13649055653368)-π/2
    2×1.43157789191111-π/2
    2.86315578382222-1.57079632675     		φ = 1.29235946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16908511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.983643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29235946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.046743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89924 KachelY 24540 1.16908511 1.29235946 66.983643 74.046743
    Oben rechts KachelX + 1 89925 KachelY 24540 1.16913304 1.29235946 66.986389 74.046743
    Unten links KachelX 89924 KachelY + 1 24541 1.16908511 1.29234628 66.983643 74.045988
    Unten rechts KachelX + 1 89925 KachelY + 1 24541 1.16913304 1.29234628 66.986389 74.045988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29235946-1.29234628) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dl = 83.9697799989487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29235946-1.29234628) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dr = 83.9697799989487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16908511-1.16913304) × cos(1.29235946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274853053886699 × 6371000     		do = 83.9296864865931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16908511-1.16913304) × cos(1.29234628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274865726251531 × 6371000     		du = 83.9335561456431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29235946)-sin(1.29234628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274853053886699-0.274865726251531)×R²
    abs(1.16913304-1.16908511)×1.26723648320448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.26723648320448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.26723648320448e-05×40589641000000     		ar = 7047.7197769862m²