Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89923 / 24537
↖ ↑ ↗
← N 74.049007°
E 66.980896°		 ← 83.94 m → N 74.049007°
E 66.983643°		 →
↑
83.91 m
↓
↑
83.91 m
↓
N 74.048252°
E 66.980896°		 ← 83.94 m →
7 043 m²		 N 74.048252°
E 66.983643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686061859130859 y=0.187206268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686061859130859 × 217)
    floor (0.686061859130859 × 131072)
    floor (89923.5)     		tx = 89923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187206268310547 × 217)
    floor (0.187206268310547 × 131072)
    floor (24537.5)     		ty = 24537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89923 / 24537 ti = "17/89923/24537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89923/24537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89923 ÷ 217
    89923 ÷ 131072     		x = 0.686058044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24537 ÷ 217
    24537 ÷ 131072     		y = 0.187202453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686058044433594 × 2 - 1) × π
    0.372116088867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.16903717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187202453613281 × 2 - 1) × π
    0.625595092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.96536494752268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16903717} λ = 1.16903717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96536494752268))-π/2
    2×atan(7.13751693402829)-π/2
    2×1.43159765394989-π/2
    2.86319530789978-1.57079632675     		φ = 1.29239898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16903717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.980896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29239898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.049007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89923 KachelY 24537 1.16903717 1.29239898 66.980896 74.049007
    Oben rechts KachelX + 1 89924 KachelY 24537 1.16908511 1.29239898 66.983643 74.049007
    Unten links KachelX 89923 KachelY + 1 24538 1.16903717 1.29238581 66.980896 74.048252
    Unten rechts KachelX + 1 89924 KachelY + 1 24538 1.16908511 1.29238581 66.983643 74.048252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29239898-1.29238581) × R
    1.31699999998958e-05 × 6371000     		dl = 83.9060699993359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29239898-1.29238581) × R
    1.31699999998958e-05 × 6371000     		dr = 83.9060699993359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16903717-1.16908511) × cos(1.29239898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274815055735681 × 6371000     		do = 83.9355917611564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16903717-1.16908511) × cos(1.29238581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274827718628735 × 6371000     		du = 83.9394593346381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29239898)-sin(1.29238581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274815055735681-0.274827718628735)×R²
    abs(1.16908511-1.16903717)×1.26628930544048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26628930544048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26628930544048e-05×40589641000000     		ar = 7042.86789413275m²