Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 89921 / 24524
↖ ↑ ↗
← N 74.058817°
E 66.975403°		 ← 83.87 m → N 74.058817°
E 66.978149°		 →
↑
83.91 m
↓
↑
83.91 m
↓
N 74.058062°
E 66.975403°		 ← 83.87 m →
7 037 m²		 N 74.058062°
E 66.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686046600341797 y=0.187107086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686046600341797 × 217)
    floor (0.686046600341797 × 131072)
    floor (89921.5)     		tx = 89921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187107086181641 × 217)
    floor (0.187107086181641 × 131072)
    floor (24524.5)     		ty = 24524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89921 / 24524 ti = "17/89921/24524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89921/24524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89921 ÷ 217
    89921 ÷ 131072     		x = 0.686042785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24524 ÷ 217
    24524 ÷ 131072     		y = 0.187103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686042785644531 × 2 - 1) × π
    0.372085571289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.16894130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187103271484375 × 2 - 1) × π
    0.62579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96598812721774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16894130} λ = 1.16894130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96598812721774))-π/2
    2×atan(7.14196627588048)-π/2
    2×1.43168325788158-π/2
    2.86336651576316-1.57079632675     		φ = 1.29257019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16894130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.975403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29257019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.058817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89921 KachelY 24524 1.16894130 1.29257019 66.975403 74.058817
    Oben rechts KachelX + 1 89922 KachelY 24524 1.16898923 1.29257019 66.978149 74.058817
    Unten links KachelX 89921 KachelY + 1 24525 1.16894130 1.29255702 66.975403 74.058062
    Unten rechts KachelX + 1 89922 KachelY + 1 24525 1.16898923 1.29255702 66.978149 74.058062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29257019-1.29255702) × R
    1.31699999998958e-05 × 6371000     		dl = 83.9060699993359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29257019-1.29255702) × R
    1.31699999998958e-05 × 6371000     		dr = 83.9060699993359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16894130-1.16898923) × cos(1.29257019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274650433789132 × 6371000     		do = 83.8678140022813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16894130-1.16898923) × cos(1.29255702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274663097301678 × 6371000     		du = 83.8716809581793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29257019)-sin(1.29255702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274650433789132-0.274663097301678)×R²
    abs(1.16898923-1.16894130)×1.2663512545863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.2663512545863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.2663512545863e-05×40589641000000     		ar = 7037.18090307516m²