Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8992 / 26080
↖ ↑ ↗
← S 72.289067°
W 81.210938°		 ← 371.64 m → S 72.289067°
W 81.199951°		 →
↑
371.56 m
↓
↑
371.56 m
↓
S 72.292409°
W 81.210938°		 ← 371.57 m →
138 073 m²		 S 72.292409°
W 81.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274429321289062 y=0.795913696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274429321289062 × 215)
    floor (0.274429321289062 × 32768)
    floor (8992.5)     		tx = 8992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795913696289062 × 215)
    floor (0.795913696289062 × 32768)
    floor (26080.5)     		ty = 26080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8992 / 26080 ti = "15/8992/26080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8992/26080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8992 ÷ 215
    8992 ÷ 32768     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26080 ÷ 215
    26080 ÷ 32768     		y = 0.7958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7958984375 × 2 - 1) × π
    -0.591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85918471486426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85918471486426))-π/2
    2×atan(0.15579959970065)-π/2
    2×0.15455704548627-π/2
    0.30911409097254-1.57079632675     		φ = -1.26168224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26168224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.289067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8992 KachelY 26080 -1.41739825 -1.26168224 -81.210938 -72.289067
    Oben rechts KachelX + 1 8993 KachelY 26080 -1.41720650 -1.26168224 -81.199951 -72.289067
    Unten links KachelX 8992 KachelY + 1 26081 -1.41739825 -1.26174056 -81.210938 -72.292409
    Unten rechts KachelX + 1 8993 KachelY + 1 26081 -1.41720650 -1.26174056 -81.199951 -72.292409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26168224--1.26174056) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dl = 371.55671999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26168224--1.26174056) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dr = 371.55671999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41720650) × cos(-1.26168224) × R
    0.000191749999999935 × 0.304214831957139 × 6371000     		do = 371.64077915087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41720650) × cos(-1.26174056) × R
    0.000191749999999935 × 0.304159275606522 × 6371000     		du = 371.572909332369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26168224)-sin(-1.26174056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304214831957139-0.304159275606522)×R²
    abs(-1.41720650--1.41739825)×5.55563506174361e-05×R²
    0.000191749999999935×5.55563506174361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.55563506174361e-05×40589641000000     		ar = 138073.020215194m²