Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8992 / 26079
↖ ↑ ↗
← S 72.285725°
W 81.210938°		 ← 371.71 m → S 72.285725°
W 81.199951°		 →
↑
371.68 m
↓
↑
371.68 m
↓
S 72.289067°
W 81.210938°		 ← 371.64 m →
138 146 m²		 S 72.289067°
W 81.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274429321289062 y=0.795883178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274429321289062 × 215)
    floor (0.274429321289062 × 32768)
    floor (8992.5)     		tx = 8992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795883178710938 × 215)
    floor (0.795883178710938 × 32768)
    floor (26079.5)     		ty = 26079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8992 / 26079 ti = "15/8992/26079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8992/26079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8992 ÷ 215
    8992 ÷ 32768     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26079 ÷ 215
    26079 ÷ 32768     		y = 0.795867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.59173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85899296726578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85899296726578))-π/2
    2×atan(0.155829476764073)-π/2
    2×0.154586214382265-π/2
    0.309172428764531-1.57079632675     		φ = -1.26162390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26162390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.285725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8992 KachelY 26079 -1.41739825 -1.26162390 -81.210938 -72.285725
    Oben rechts KachelX + 1 8993 KachelY 26079 -1.41720650 -1.26162390 -81.199951 -72.285725
    Unten links KachelX 8992 KachelY + 1 26080 -1.41739825 -1.26168224 -81.210938 -72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 8993 KachelY + 1 26080 -1.41720650 -1.26168224 -81.199951 -72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26162390--1.26168224) × R
    5.83400000000456e-05 × 6371000     		dl = 371.68414000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26162390--1.26168224) × R
    5.83400000000456e-05 × 6371000     		dr = 371.68414000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41720650) × cos(-1.26162390) × R
    0.000191749999999935 × 0.304270406324769 × 6371000     		do = 371.70867097966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41720650) × cos(-1.26168224) × R
    0.000191749999999935 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 371.64077915087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26162390)-sin(-1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304270406324769-0.304214831957139)×R²
    abs(-1.41720650--1.41739825)×5.55743676293186e-05×R²
    0.000191749999999935×5.55743676293186e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.55743676293186e-05×40589641000000     		ar = 138145.600584634m²