Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8991 / 26210
↖ ↑ ↗
← S 72.718432°
W 81.221924°		 ← 362.91 m → S 72.718432°
W 81.210938°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
S 72.721695°
W 81.221924°		 ← 362.84 m →
131 685 m²		 S 72.721695°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274398803710938 y=0.799880981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274398803710938 × 215)
    floor (0.274398803710938 × 32768)
    floor (8991.5)     		tx = 8991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799880981445312 × 215)
    floor (0.799880981445312 × 32768)
    floor (26210.5)     		ty = 26210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8991 / 26210 ti = "15/8991/26210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8991/26210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8991 ÷ 215
    8991 ÷ 32768     		x = 0.274383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26210 ÷ 215
    26210 ÷ 32768     		y = 0.79986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41759000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.5997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88411190266669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41759000} λ = -1.41759000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88411190266669))-π/2
    2×atan(0.151963958305029)-π/2
    2×0.150810133640258-π/2
    0.301620267280516-1.57079632675     		φ = -1.26917606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41759000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26917606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.718432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8991 KachelY 26210 -1.41759000 -1.26917606 -81.221924 -72.718432
    Oben rechts KachelX + 1 8992 KachelY 26210 -1.41739825 -1.26917606 -81.210938 -72.718432
    Unten links KachelX 8991 KachelY + 1 26211 -1.41759000 -1.26923302 -81.221924 -72.721695
    Unten rechts KachelX + 1 8992 KachelY + 1 26211 -1.41739825 -1.26923302 -81.210938 -72.721695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26917606--1.26923302) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26917606--1.26923302) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41759000--1.41739825) × cos(-1.26917606) × R
    0.000191749999999935 × 0.297067718066082 × 6371000     		do = 362.909584297336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41759000--1.41739825) × cos(-1.26923302) × R
    0.000191749999999935 × 0.297013328962874 × 6371000     		du = 362.843140434086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26917606)-sin(-1.26923302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297067718066082-0.297013328962874)×R²
    abs(-1.41739825--1.41759000)×5.43891032073196e-05×R²
    0.000191749999999935×5.43891032073196e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.43891032073196e-05×40589641000000     		ar = 131684.986987881m²