Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89907 / 24532
↖ ↑ ↗
← N 74.052781°
E 66.936951°		 ← 83.92 m → N 74.052781°
E 66.939697°		 →
↑
83.91 m
↓
↑
83.91 m
↓
N 74.052026°
E 66.936951°		 ← 83.92 m →
7 041 m²		 N 74.052026°
E 66.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685939788818359 y=0.187168121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685939788818359 × 217)
    floor (0.685939788818359 × 131072)
    floor (89907.5)     		tx = 89907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187168121337891 × 217)
    floor (0.187168121337891 × 131072)
    floor (24532.5)     		ty = 24532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89907 / 24532 ti = "17/89907/24532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89907/24532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89907 ÷ 217
    89907 ÷ 131072     		x = 0.685935974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24532 ÷ 217
    24532 ÷ 131072     		y = 0.187164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685935974121094 × 2 - 1) × π
    0.371871948242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.16827018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187164306640625 × 2 - 1) × π
    0.62567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96560463202078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16827018} λ = 1.16827018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96560463202078))-π/2
    2×atan(7.13922789122907)-π/2
    2×1.43163058460941-π/2
    2.86326116921883-1.57079632675     		φ = 1.29246484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16827018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.936951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29246484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.052781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89907 KachelY 24532 1.16827018 1.29246484 66.936951 74.052781
    Oben rechts KachelX + 1 89908 KachelY 24532 1.16831812 1.29246484 66.939697 74.052781
    Unten links KachelX 89907 KachelY + 1 24533 1.16827018 1.29245167 66.936951 74.052026
    Unten rechts KachelX + 1 89908 KachelY + 1 24533 1.16831812 1.29245167 66.939697 74.052026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29246484-1.29245167) × R
    1.31700000001178e-05 × 6371000     		dl = 83.9060700007506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29246484-1.29245167) × R
    1.31700000001178e-05 × 6371000     		dr = 83.9060700007506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16827018-1.16831812) × cos(1.29246484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274751730940304 × 6371000     		do = 83.9162507386684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16827018-1.16831812) × cos(1.29245167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274764394071705 × 6371000     		du = 83.9201183849471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29246484)-sin(1.29245167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274751730940304-0.274764394071705)×R²
    abs(1.16831812-1.16827018)×1.26631314006365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26631314006365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26631314006365e-05×40589641000000     		ar = 7041.24506820483m²