Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89901 / 24595
↖ ↑ ↗
← N 74.005170°
E 66.920471°		 ← 84.16 m → N 74.005170°
E 66.923218°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.004413°
E 66.920471°		 ← 84.16 m →
7 083 m²		 N 74.004413°
E 66.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685894012451172 y=0.187648773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685894012451172 × 217)
    floor (0.685894012451172 × 131072)
    floor (89901.5)     		tx = 89901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187648773193359 × 217)
    floor (0.187648773193359 × 131072)
    floor (24595.5)     		ty = 24595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89901 / 24595 ti = "17/89901/24595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89901/24595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89901 ÷ 217
    89901 ÷ 131072     		x = 0.685890197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24595 ÷ 217
    24595 ÷ 131072     		y = 0.187644958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685890197753906 × 2 - 1) × π
    0.371780395507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.16798256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187644958496094 × 2 - 1) × π
    0.624710083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.96258460734472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16798256} λ = 1.16798256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96258460734472))-π/2
    2×atan(7.11769977091916)-π/2
    2×1.43121510321161-π/2
    2.86243020642321-1.57079632675     		φ = 1.29163388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16798256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.920471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29163388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.005170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89901 KachelY 24595 1.16798256 1.29163388 66.920471 74.005170
    Oben rechts KachelX + 1 89902 KachelY 24595 1.16803050 1.29163388 66.923218 74.005170
    Unten links KachelX 89901 KachelY + 1 24596 1.16798256 1.29162067 66.920471 74.004413
    Unten rechts KachelX + 1 89902 KachelY + 1 24596 1.16803050 1.29162067 66.923218 74.004413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29163388-1.29162067) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29163388-1.29162067) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16798256-1.16803050) × cos(1.29163388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275550616664486 × 6371000     		do = 84.1602510021517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16798256-1.16803050) × cos(1.29162067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27556331523595 × 6371000     		du = 84.1641294727382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29163388)-sin(1.29162067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275550616664486-0.27556331523595)×R²
    abs(1.16803050-1.16798256)×1.26985714645755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26985714645755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26985714645755e-05×40589641000000     		ar = 7083.16651816142m²