Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8990 / 26142
↖ ↑ ↗
← S 72.495115°
W 81.232910°		 ← 367.43 m → S 72.495115°
W 81.221924°		 →
↑
367.42 m
↓
↑
367.42 m
↓
S 72.498419°
W 81.232910°		 ← 367.37 m →
134 989 m²		 S 72.498419°
W 81.221924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274368286132812 y=0.797805786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274368286132812 × 215)
    floor (0.274368286132812 × 32768)
    floor (8990.5)     		tx = 8990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797805786132812 × 215)
    floor (0.797805786132812 × 32768)
    floor (26142.5)     		ty = 26142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8990 / 26142 ti = "15/8990/26142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8990/26142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8990 ÷ 215
    8990 ÷ 32768     		x = 0.27435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26142 ÷ 215
    26142 ÷ 32768     		y = 0.79779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41778174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87107306597003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41778174} λ = -1.41778174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87107306597003))-π/2
    2×atan(0.153958365661161)-π/2
    2×0.152758943868423-π/2
    0.305517887736846-1.57079632675     		φ = -1.26527844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41778174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.232910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26527844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.495115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8990 KachelY 26142 -1.41778174 -1.26527844 -81.232910 -72.495115
    Oben rechts KachelX + 1 8991 KachelY 26142 -1.41759000 -1.26527844 -81.221924 -72.495115
    Unten links KachelX 8990 KachelY + 1 26143 -1.41778174 -1.26533611 -81.232910 -72.498419
    Unten rechts KachelX + 1 8991 KachelY + 1 26143 -1.41759000 -1.26533611 -81.221924 -72.498419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26527844--1.26533611) × R
    5.76700000001207e-05 × 6371000     		dl = 367.415570000769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26527844--1.26533611) × R
    5.76700000001207e-05 × 6371000     		dr = 367.415570000769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41778174--1.41759000) × cos(-1.26527844) × R
    0.000191739999999996 × 0.300787119657942 × 6371000     		do = 367.434188121188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41778174--1.41759000) × cos(-1.26533611) × R
    0.000191739999999996 × 0.300732119780127 × 6371000     		du = 367.367001615745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26527844)-sin(-1.26533611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300787119657942-0.300732119780127)×R²
    abs(-1.41759000--1.41778174)×5.4999877815487e-05×R²
    0.000191739999999996×5.4999877815487e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.4999877815487e-05×40589641000000     		ar = 134988.69901932m²