Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8990 / 26129
↖ ↑ ↗
← S 72.452104°
W 81.232910°		 ← 368.31 m → S 72.452104°
W 81.221924°		 →
↑
368.31 m
↓
↑
368.31 m
↓
S 72.455417°
W 81.232910°		 ← 368.24 m →
135 638 m²		 S 72.455417°
W 81.221924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274368286132812 y=0.797409057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274368286132812 × 215)
    floor (0.274368286132812 × 32768)
    floor (8990.5)     		tx = 8990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797409057617188 × 215)
    floor (0.797409057617188 × 32768)
    floor (26129.5)     		ty = 26129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8990 / 26129 ti = "15/8990/26129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8990/26129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8990 ÷ 215
    8990 ÷ 32768     		x = 0.27435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26129 ÷ 215
    26129 ÷ 32768     		y = 0.797393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41778174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.59478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86858034718979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41778174} λ = -1.41778174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86858034718979))-π/2
    2×atan(0.15434261928977)-π/2
    2×0.153134278647327-π/2
    0.306268557294655-1.57079632675     		φ = -1.26452777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41778174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.232910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26452777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.452104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8990 KachelY 26129 -1.41778174 -1.26452777 -81.232910 -72.452104
    Oben rechts KachelX + 1 8991 KachelY 26129 -1.41759000 -1.26452777 -81.221924 -72.452104
    Unten links KachelX 8990 KachelY + 1 26130 -1.41778174 -1.26458558 -81.232910 -72.455417
    Unten rechts KachelX + 1 8991 KachelY + 1 26130 -1.41759000 -1.26458558 -81.221924 -72.455417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26452777--1.26458558) × R
    5.7810000000158e-05 × 6371000     		dl = 368.307510001007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26452777--1.26458558) × R
    5.7810000000158e-05 × 6371000     		dr = 368.307510001007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41778174--1.41759000) × cos(-1.26452777) × R
    0.000191739999999996 × 0.301502942296388 × 6371000     		do = 368.308619547291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41778174--1.41759000) × cos(-1.26458558) × R
    0.000191739999999996 × 0.301447821966723 × 6371000     		du = 368.241285900815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26452777)-sin(-1.26458558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301502942296388-0.301447821966723)×R²
    abs(-1.41759000--1.41778174)×5.51203296653702e-05×R²
    0.000191739999999996×5.51203296653702e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.51203296653702e-05×40589641000000     		ar = 135638.430871276m²