Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 899 / 891
↖ ↑ ↗
← N 70.757966°
W100.986328°		 ← 3 220.80 m → N 70.757966°
W100.898437°		 →
↑
3 223.09 m
↓
↑
3 223.09 m
↓
N 70.728980°
W100.986328°		 ← 3 225.47 m →
10 388 449 m²		 N 70.728980°
W100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2196044921875 y=0.2176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2196044921875 × 212)
    floor (0.2196044921875 × 4096)
    floor (899.5)     		tx = 899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2176513671875 × 212)
    floor (0.2176513671875 × 4096)
    floor (891.5)     		ty = 891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 899 / 891 ti = "12/899/891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/899/891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 899 ÷ 212
    899 ÷ 4096     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 891 ÷ 212
    891 ÷ 4096     		y = 0.217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217529296875 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77481577153296))-π/2
    2×atan(5.89919423669216)-π/2
    2×1.40287789948722-π/2
    2.80575579897444-1.57079632675     		φ = 1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 899 KachelY 891 -1.76254393 1.23495947 -100.986328 70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 900 KachelY 891 -1.76100994 1.23495947 -100.898437 70.757966
    Unten links KachelX 899 KachelY + 1 892 -1.76254393 1.23445357 -100.986328 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 900 KachelY + 1 892 -1.76100994 1.23445357 -100.898437 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23495947-1.23445357) × R
    0.000505900000000059 × 6371000     		dl = 3223.08890000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23495947-1.23445357) × R
    0.000505900000000059 × 6371000     		dr = 3223.08890000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76100994) × cos(1.23495947) × R
    0.00153398999999999 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 3220.80050025142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76100994) × cos(1.23445357) × R
    0.00153398999999999 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 3225.46806631757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23495947)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.330036986468592)×R²
    abs(-1.76100994--1.76254393)×0.000477595625485772×R²
    0.00153398999999999×0.000477595625485772×6371000²
    0.00153398999999999×0.000477595625485772×40589641000000     		ar = 10388448.5532263m²