Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89891 / 24603
↖ ↑ ↗
← N 73.999114°
E 66.893005°		 ← 84.19 m → N 73.999114°
E 66.895752°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 73.998357°
E 66.893005°		 ← 84.20 m →
7 091 m²		 N 73.998357°
E 66.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685817718505859 y=0.187709808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685817718505859 × 217)
    floor (0.685817718505859 × 131072)
    floor (89891.5)     		tx = 89891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187709808349609 × 217)
    floor (0.187709808349609 × 131072)
    floor (24603.5)     		ty = 24603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89891 / 24603 ti = "17/89891/24603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89891/24603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89891 ÷ 217
    89891 ÷ 131072     		x = 0.685813903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24603 ÷ 217
    24603 ÷ 131072     		y = 0.187705993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685813903808594 × 2 - 1) × π
    0.371627807617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.16750319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187705993652344 × 2 - 1) × π
    0.624588012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.96220111214776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16750319} λ = 1.16750319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96220111214776))-π/2
    2×atan(7.11497069057165)-π/2
    2×1.43116225730244-π/2
    2.86232451460488-1.57079632675     		φ = 1.29152819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16750319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.893005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29152819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.999114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89891 KachelY 24603 1.16750319 1.29152819 66.893005 73.999114
    Oben rechts KachelX + 1 89892 KachelY 24603 1.16755113 1.29152819 66.895752 73.999114
    Unten links KachelX 89891 KachelY + 1 24604 1.16750319 1.29151497 66.893005 73.998357
    Unten rechts KachelX + 1 89892 KachelY + 1 24604 1.16755113 1.29151497 66.895752 73.998357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29152819-1.29151497) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dl = 84.2246200002292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29152819-1.29151497) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dr = 84.2246200002292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16750319-1.16755113) × cos(1.29152819) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275652213502218 × 6371000     		do = 84.1912812918876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16750319-1.16755113) × cos(1.29151497) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275664921301426 × 6371000     		du = 84.1951625808647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29152819)-sin(1.29151497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275652213502218-0.275664921301426)×R²
    abs(1.16755113-1.16750319)×1.27077992085334e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.27077992085334e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.27077992085334e-05×40589641000000     		ar = 7091.14212423806m²