Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8989 / 26211
↖ ↑ ↗
← S 72.721695°
W 81.243896°		 ← 362.84 m → S 72.721695°
W 81.232910°		 →
↑
362.76 m
↓
↑
362.76 m
↓
S 72.724958°
W 81.243896°		 ← 362.78 m →
131 615 m²		 S 72.724958°
W 81.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274337768554688 y=0.799911499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274337768554688 × 215)
    floor (0.274337768554688 × 32768)
    floor (8989.5)     		tx = 8989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799911499023438 × 215)
    floor (0.799911499023438 × 32768)
    floor (26211.5)     		ty = 26211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8989 / 26211 ti = "15/8989/26211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8989/26211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8989 ÷ 215
    8989 ÷ 32768     		x = 0.274322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26211 ÷ 215
    26211 ÷ 32768     		y = 0.799896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41797349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.59979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88430365026517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41797349} λ = -1.41797349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88430365026517))-π/2
    2×atan(0.15193482237443)-π/2
    2×0.150781655236622-π/2
    0.301563310473244-1.57079632675     		φ = -1.26923302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41797349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.243896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26923302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.721695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8989 KachelY 26211 -1.41797349 -1.26923302 -81.243896 -72.721695
    Oben rechts KachelX + 1 8990 KachelY 26211 -1.41778174 -1.26923302 -81.232910 -72.721695
    Unten links KachelX 8989 KachelY + 1 26212 -1.41797349 -1.26928996 -81.243896 -72.724958
    Unten rechts KachelX + 1 8990 KachelY + 1 26212 -1.41778174 -1.26928996 -81.232910 -72.724958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26923302--1.26928996) × R
    5.69400000001163e-05 × 6371000     		dl = 362.764740000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26923302--1.26928996) × R
    5.69400000001163e-05 × 6371000     		dr = 362.764740000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41797349--1.41778174) × cos(-1.26923302) × R
    0.000191750000000157 × 0.297013328962874 × 6371000     		do = 362.843140434506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41797349--1.41778174) × cos(-1.26928996) × R
    0.000191750000000157 × 0.296958957993829 × 6371000     		du = 362.77671872466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26923302)-sin(-1.26928996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297013328962874-0.296958957993829)×R²
    abs(-1.41778174--1.41797349)×5.43709690449257e-05×R²
    0.000191750000000157×5.43709690449257e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.43709690449257e-05×40589641000000     		ar = 131614.64980916m²