Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8989 / 26143
↖ ↑ ↗
← S 72.498419°
W 81.243896°		 ← 367.39 m → S 72.498419°
W 81.232910°		 →
↑
367.35 m
↓
↑
367.35 m
↓
S 72.501722°
W 81.243896°		 ← 367.32 m →
134 948 m²		 S 72.501722°
W 81.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274337768554688 y=0.797836303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274337768554688 × 215)
    floor (0.274337768554688 × 32768)
    floor (8989.5)     		tx = 8989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797836303710938 × 215)
    floor (0.797836303710938 × 32768)
    floor (26143.5)     		ty = 26143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8989 / 26143 ti = "15/8989/26143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8989/26143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8989 ÷ 215
    8989 ÷ 32768     		x = 0.274322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26143 ÷ 215
    26143 ÷ 32768     		y = 0.797821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41797349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.59564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87126481356851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41797349} λ = -1.41797349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87126481356851))-π/2
    2×atan(0.153928847344403)-π/2
    2×0.152730108901006-π/2
    0.305460217802012-1.57079632675     		φ = -1.26533611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41797349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.243896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26533611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.498419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8989 KachelY 26143 -1.41797349 -1.26533611 -81.243896 -72.498419
    Oben rechts KachelX + 1 8990 KachelY 26143 -1.41778174 -1.26533611 -81.232910 -72.498419
    Unten links KachelX 8989 KachelY + 1 26144 -1.41797349 -1.26539377 -81.243896 -72.501722
    Unten rechts KachelX + 1 8990 KachelY + 1 26144 -1.41778174 -1.26539377 -81.232910 -72.501722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26533611--1.26539377) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dl = 367.351859999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26533611--1.26539377) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dr = 367.351859999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41797349--1.41778174) × cos(-1.26533611) × R
    0.000191750000000157 × 0.300732119780127 × 6371000     		do = 367.386161259405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41797349--1.41778174) × cos(-1.26539377) × R
    0.000191750000000157 × 0.300677128439388 × 6371000     		du = 367.318981679148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26533611)-sin(-1.26539377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300732119780127-0.300677128439388)×R²
    abs(-1.41778174--1.41797349)×5.49913407389968e-05×R²
    0.000191750000000157×5.49913407389968e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.49913407389968e-05×40589641000000     		ar = 134947.650442302m²