Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8988 / 26081
↖ ↑ ↗
← S 72.292409°
W 81.254883°		 ← 371.57 m → S 72.292409°
W 81.243896°		 →
↑
371.56 m
↓
↑
371.56 m
↓
S 72.295750°
W 81.254883°		 ← 371.51 m →
138 048 m²		 S 72.295750°
W 81.243896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274307250976562 y=0.795944213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274307250976562 × 215)
    floor (0.274307250976562 × 32768)
    floor (8988.5)     		tx = 8988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795944213867188 × 215)
    floor (0.795944213867188 × 32768)
    floor (26081.5)     		ty = 26081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8988 / 26081 ti = "15/8988/26081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8988/26081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8988 ÷ 215
    8988 ÷ 32768     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26081 ÷ 215
    26081 ÷ 32768     		y = 0.795928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.59185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85937646246274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85937646246274))-π/2
    2×atan(0.155769728365533)-π/2
    2×0.154527881917761-π/2
    0.309055763835522-1.57079632675     		φ = -1.26174056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26174056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.292409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8988 KachelY 26081 -1.41816524 -1.26174056 -81.254883 -72.292409
    Oben rechts KachelX + 1 8989 KachelY 26081 -1.41797349 -1.26174056 -81.243896 -72.292409
    Unten links KachelX 8988 KachelY + 1 26082 -1.41816524 -1.26179888 -81.254883 -72.295750
    Unten rechts KachelX + 1 8989 KachelY + 1 26082 -1.41797349 -1.26179888 -81.243896 -72.295750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26174056--1.26179888) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dl = 371.55671999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26174056--1.26179888) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dr = 371.55671999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41797349) × cos(-1.26174056) × R
    0.000191749999999935 × 0.304159275606522 × 6371000     		do = 371.572909332369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41797349) × cos(-1.26179888) × R
    0.000191749999999935 × 0.304103718221391 × 6371000     		du = 371.505038250066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26174056)-sin(-1.26179888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304159275606522-0.304103718221391)×R²
    abs(-1.41797349--1.41816524)×5.55573851308e-05×R²
    0.000191749999999935×5.55573851308e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.55573851308e-05×40589641000000     		ar = 138047.802493211m²