Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8987 / 9820
↖ ↑ ↗
← S 33.651208°
E 17.468262°		 ← 2 033.85 m → S 33.651208°
E 17.490235°		 →
↑
2 033.62 m
↓
↑
2 033.62 m
↓
S 33.669497°
E 17.468262°		 ← 2 033.42 m →
4 135 644 m²		 S 33.669497°
E 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548553466796875 y=0.599395751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548553466796875 × 214)
    floor (0.548553466796875 × 16384)
    floor (8987.5)     		tx = 8987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599395751953125 × 214)
    floor (0.599395751953125 × 16384)
    floor (9820.5)     		ty = 9820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8987 / 9820 ti = "14/8987/9820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8987/9820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8987 ÷ 214
    8987 ÷ 16384     		x = 0.54852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9820 ÷ 214
    9820 ÷ 16384     		y = 0.599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54852294921875 × 2 - 1) × π
    0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.19873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.624330180651611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30487868} λ = 0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624330180651611))-π/2
    2×atan(0.535620077081722)-π/2
    2×0.491735972357091-π/2
    0.983471944714183-1.57079632675     		φ = -0.58732438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58732438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.651208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8987 KachelY 9820 0.30487868 -0.58732438 17.468262 -33.651208
    Oben rechts KachelX + 1 8988 KachelY 9820 0.30526218 -0.58732438 17.490235 -33.651208
    Unten links KachelX 8987 KachelY + 1 9821 0.30487868 -0.58764358 17.468262 -33.669497
    Unten rechts KachelX + 1 8988 KachelY + 1 9821 0.30526218 -0.58764358 17.490235 -33.669497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58732438--0.58764358) × R
    0.000319200000000075 × 6371000     		dl = 2033.62320000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58732438--0.58764358) × R
    0.000319200000000075 × 6371000     		dr = 2033.62320000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30487868-0.30526218) × cos(-0.58732438) × R
    0.000383499999999981 × 0.832426313677695 × 6371000     		do = 2033.84931504287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30487868-0.30526218) × cos(-0.58764358) × R
    0.000383499999999981 × 0.83224939114108 × 6371000     		du = 2033.41704401299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58732438)-sin(-0.58764358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832426313677695-0.83224939114108)×R²
    abs(0.30526218-0.30487868)×0.000176922536614721×R²
    0.000383499999999981×0.000176922536614721×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176922536614721×40589641000000     		ar = 4135643.64929362m²