Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8986 / 26130
↖ ↑ ↗
← S 72.455417°
W 81.276855°		 ← 368.24 m → S 72.455417°
W 81.265869°		 →
↑
368.18 m
↓
↑
368.18 m
↓
S 72.458728°
W 81.276855°		 ← 368.17 m →
135 567 m²		 S 72.458728°
W 81.265869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274246215820312 y=0.797439575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274246215820312 × 215)
    floor (0.274246215820312 × 32768)
    floor (8986.5)     		tx = 8986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797439575195312 × 215)
    floor (0.797439575195312 × 32768)
    floor (26130.5)     		ty = 26130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8986 / 26130 ti = "15/8986/26130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8986/26130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8986 ÷ 215
    8986 ÷ 32768     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26130 ÷ 215
    26130 ÷ 32768     		y = 0.79742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5948486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86877209478827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86877209478827))-π/2
    2×atan(0.154313027300365)-π/2
    2×0.153105375056963-π/2
    0.306210750113926-1.57079632675     		φ = -1.26458558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26458558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.455417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8986 KachelY 26130 -1.41854873 -1.26458558 -81.276855 -72.455417
    Oben rechts KachelX + 1 8987 KachelY 26130 -1.41835699 -1.26458558 -81.265869 -72.455417
    Unten links KachelX 8986 KachelY + 1 26131 -1.41854873 -1.26464337 -81.276855 -72.458728
    Unten rechts KachelX + 1 8987 KachelY + 1 26131 -1.41835699 -1.26464337 -81.265869 -72.458728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26458558--1.26464337) × R
    5.77899999998355e-05 × 6371000     		dl = 368.180089998952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26458558--1.26464337) × R
    5.77899999998355e-05 × 6371000     		dr = 368.180089998952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41835699) × cos(-1.26458558) × R
    0.000191739999999996 × 0.301447821966723 × 6371000     		do = 368.241285900815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41835699) × cos(-1.26464337) × R
    0.000191739999999996 × 0.301392719699622 × 6371000     		du = 368.173974319127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26458558)-sin(-1.26464337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301447821966723-0.301392719699622)×R²
    abs(-1.41835699--1.41854873)×5.5102267100593e-05×R²
    0.000191739999999996×5.5102267100593e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.5102267100593e-05×40589641000000     		ar = 135566.718429758m²