Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8986 / 26109
↖ ↑ ↗
← S 72.385735°
W 81.276855°		 ← 369.66 m → S 72.385735°
W 81.265869°		 →
↑
369.65 m
↓
↑
369.65 m
↓
S 72.389059°
W 81.276855°		 ← 369.59 m →
136 630 m²		 S 72.389059°
W 81.265869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274246215820312 y=0.796798706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274246215820312 × 215)
    floor (0.274246215820312 × 32768)
    floor (8986.5)     		tx = 8986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796798706054688 × 215)
    floor (0.796798706054688 × 32768)
    floor (26109.5)     		ty = 26109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8986 / 26109 ti = "15/8986/26109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8986/26109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8986 ÷ 215
    8986 ÷ 32768     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26109 ÷ 215
    26109 ÷ 32768     		y = 0.796783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.59356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86474539522018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86474539522018))-π/2
    2×atan(0.15493565222121)-π/2
    2×0.153713461413956-π/2
    0.307426922827912-1.57079632675     		φ = -1.26336940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26336940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.385735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8986 KachelY 26109 -1.41854873 -1.26336940 -81.276855 -72.385735
    Oben rechts KachelX + 1 8987 KachelY 26109 -1.41835699 -1.26336940 -81.265869 -72.385735
    Unten links KachelX 8986 KachelY + 1 26110 -1.41854873 -1.26342742 -81.276855 -72.389059
    Unten rechts KachelX + 1 8987 KachelY + 1 26110 -1.41835699 -1.26342742 -81.265869 -72.389059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26336940--1.26342742) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dl = 369.645419999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26336940--1.26342742) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dr = 369.645419999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41835699) × cos(-1.26336940) × R
    0.000191739999999996 × 0.3026072053052 × 6371000     		do = 369.657560228582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41835699) × cos(-1.26342742) × R
    0.000191739999999996 × 0.302551905043017 × 6371000     		du = 369.590006780944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26336940)-sin(-1.26342742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3026072053052-0.302551905043017)×R²
    abs(-1.41835699--1.41854873)×5.53002621830334e-05×R²
    0.000191739999999996×5.53002621830334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.53002621830334e-05×40589641000000     		ar = 136629.738734494m²