Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8985 / 4922
↖ ↑ ↗
← N 82.074574°
W130.643921°		 ← 84.23 m → N 82.074574°
W130.638428°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 82.073817°
W130.643921°		 ← 84.23 m →
7 094 m²		 N 82.073817°
W130.638428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137107849121094 y=0.0751113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137107849121094 × 216)
    floor (0.137107849121094 × 65536)
    floor (8985.5)     		tx = 8985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0751113891601562 × 216)
    floor (0.0751113891601562 × 65536)
    floor (4922.5)     		ty = 4922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8985 / 4922 ti = "16/8985/4922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8985/4922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8985 ÷ 216
    8985 ÷ 65536     		x = 0.137100219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4922 ÷ 216
    4922 ÷ 65536     		y = 0.075103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137100219726562 × 2 - 1) × π
    -0.725799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28016657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075103759765625 × 2 - 1) × π
    0.84979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66970181364017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28016657} λ = -2.28016657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66970181364017))-π/2
    2×atan(14.4356640328551)-π/2
    2×1.50163393770526-π/2
    3.00326787541052-1.57079632675     		φ = 1.43247155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28016657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.643921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43247155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.074574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8985 KachelY 4922 -2.28016657 1.43247155 -130.643921 82.074574
    Oben rechts KachelX + 1 8986 KachelY 4922 -2.28007069 1.43247155 -130.638428 82.074574
    Unten links KachelX 8985 KachelY + 1 4923 -2.28016657 1.43245833 -130.643921 82.073817
    Unten rechts KachelX + 1 8986 KachelY + 1 4923 -2.28007069 1.43245833 -130.638428 82.073817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43247155-1.43245833) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dl = 84.2246200002292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43247155-1.43245833) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dr = 84.2246200002292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28016657--2.28007069) × cos(1.43247155) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.137884086800246 × 6371000     		do = 84.2266984903237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28016657--2.28007069) × cos(1.43245833) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.137897180515682 × 6371000     		du = 84.234696805776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43247155)-sin(1.43245833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137884086800246-0.137897180515682)×R²
    abs(-2.28007069--2.28016657)×1.30937154353417e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.30937154353417e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.30937154353417e-05×40589641000000     		ar = 7094.29850167473m²