Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8985 / 26227
↖ ↑ ↗
← S 72.773828°
W 81.287842°		 ← 361.78 m → S 72.773828°
W 81.276855°		 →
↑
361.75 m
↓
↑
361.75 m
↓
S 72.777081°
W 81.287842°		 ← 361.72 m →
130 861 m²		 S 72.777081°
W 81.276855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274215698242188 y=0.800399780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274215698242188 × 215)
    floor (0.274215698242188 × 32768)
    floor (8985.5)     		tx = 8985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800399780273438 × 215)
    floor (0.800399780273438 × 32768)
    floor (26227.5)     		ty = 26227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8985 / 26227 ti = "15/8985/26227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8985/26227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8985 ÷ 215
    8985 ÷ 32768     		x = 0.274200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26227 ÷ 215
    26227 ÷ 32768     		y = 0.800384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.45159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41874048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.60076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88737161184085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41874048} λ = -1.41874048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88737161184085))-π/2
    2×atan(0.151469406481471)-π/2
    2×0.150326709264604-π/2
    0.300653418529209-1.57079632675     		φ = -1.27014291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41874048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.287842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27014291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.773828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8985 KachelY 26227 -1.41874048 -1.27014291 -81.287842 -72.773828
    Oben rechts KachelX + 1 8986 KachelY 26227 -1.41854873 -1.27014291 -81.276855 -72.773828
    Unten links KachelX 8985 KachelY + 1 26228 -1.41874048 -1.27019969 -81.287842 -72.777081
    Unten rechts KachelX + 1 8986 KachelY + 1 26228 -1.41854873 -1.27019969 -81.276855 -72.777081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27014291--1.27019969) × R
    5.67800000002006e-05 × 6371000     		dl = 361.745380001278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27014291--1.27019969) × R
    5.67800000002006e-05 × 6371000     		dr = 361.745380001278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41874048--1.41854873) × cos(-1.27014291) × R
    0.000191750000000157 × 0.296144376437 × 6371000     		do = 361.781593922511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41874048--1.41854873) × cos(-1.27019969) × R
    0.000191750000000157 × 0.296090142929472 × 6371000     		du = 361.71534014105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27014291)-sin(-1.27019969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296144376437-0.296090142929472)×R²
    abs(-1.41854873--1.41874048)×5.42335075277567e-05×R²
    0.000191750000000157×5.42335075277567e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.42335075277567e-05×40589641000000     		ar = 130860.836705806m²