Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89846 / 24610
↖ ↑ ↗
← N 73.993814°
E 66.769409°		 ← 84.22 m → N 73.993814°
E 66.772156°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 73.993057°
E 66.769409°		 ← 84.22 m →
7 093 m²		 N 73.993057°
E 66.772156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685474395751953 y=0.187763214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685474395751953 × 217)
    floor (0.685474395751953 × 131072)
    floor (89846.5)     		tx = 89846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187763214111328 × 217)
    floor (0.187763214111328 × 131072)
    floor (24610.5)     		ty = 24610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89846 / 24610 ti = "17/89846/24610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89846/24610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89846 ÷ 217
    89846 ÷ 131072     		x = 0.685470581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24610 ÷ 217
    24610 ÷ 131072     		y = 0.187759399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685470581054688 × 2 - 1) × π
    0.370941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.16534603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187759399414062 × 2 - 1) × π
    0.624481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96186555385042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16534603} λ = 1.16534603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96186555385042))-π/2
    2×atan(7.11258360364691)-π/2
    2×1.4311160011487-π/2
    2.8622320022974-1.57079632675     		φ = 1.29143568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16534603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.769409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29143568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.993814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89846 KachelY 24610 1.16534603 1.29143568 66.769409 73.993814
    Oben rechts KachelX + 1 89847 KachelY 24610 1.16539397 1.29143568 66.772156 73.993814
    Unten links KachelX 89846 KachelY + 1 24611 1.16534603 1.29142246 66.769409 73.993057
    Unten rechts KachelX + 1 89847 KachelY + 1 24611 1.16539397 1.29142246 66.772156 73.993057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29143568-1.29142246) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dl = 84.2246200002292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29143568-1.29142246) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dr = 84.2246200002292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16534603-1.16539397) × cos(1.29143568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275741138247914 × 6371000     		do = 84.2184411977562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16534603-1.16539397) × cos(1.29142246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275753845709943 × 6371000     		du = 84.2223223837499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29143568)-sin(1.29142246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275741138247914-0.275753845709943)×R²
    abs(1.16539397-1.16534603)×1.27074620286383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27074620286383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27074620286383e-05×40589641000000     		ar = 7093.42965275916m²