Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8982 / 26231
↖ ↑ ↗
← S 72.786837°
W 81.320801°		 ← 361.50 m → S 72.786837°
W 81.309815°		 →
↑
361.49 m
↓
↑
361.49 m
↓
S 72.790088°
W 81.320801°		 ← 361.43 m →
130 666 m²		 S 72.790088°
W 81.309815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274124145507812 y=0.800521850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274124145507812 × 215)
    floor (0.274124145507812 × 32768)
    floor (8982.5)     		tx = 8982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800521850585938 × 215)
    floor (0.800521850585938 × 32768)
    floor (26231.5)     		ty = 26231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8982 / 26231 ti = "15/8982/26231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8982/26231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8982 ÷ 215
    8982 ÷ 32768     		x = 0.27410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26231 ÷ 215
    26231 ÷ 32768     		y = 0.800506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.4517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41931572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.60101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88813860223477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41931572} λ = -1.41931572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88813860223477))-π/2
    2×atan(0.151353275443115)-π/2
    2×0.150213180908674-π/2
    0.300426361817348-1.57079632675     		φ = -1.27036996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41931572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.320801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27036996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.786837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8982 KachelY 26231 -1.41931572 -1.27036996 -81.320801 -72.786837
    Oben rechts KachelX + 1 8983 KachelY 26231 -1.41912398 -1.27036996 -81.309815 -72.786837
    Unten links KachelX 8982 KachelY + 1 26232 -1.41931572 -1.27042670 -81.320801 -72.790088
    Unten rechts KachelX + 1 8983 KachelY + 1 26232 -1.41912398 -1.27042670 -81.309815 -72.790088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27036996--1.27042670) × R
    5.67399999999996e-05 × 6371000     		dl = 361.490539999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27036996--1.27042670) × R
    5.67399999999996e-05 × 6371000     		dr = 361.490539999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41931572--1.41912398) × cos(-1.27036996) × R
    0.000191739999999996 × 0.295927503544806 × 6371000     		do = 361.497799943591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41931572--1.41912398) × cos(-1.27042670) × R
    0.000191739999999996 × 0.295873304430251 × 6371000     		du = 361.43159163096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27036996)-sin(-1.27042670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295927503544806-0.295873304430251)×R²
    abs(-1.41912398--1.41931572)×5.41991145555087e-05×R²
    0.000191739999999996×5.41991145555087e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.41991145555087e-05×40589641000000     		ar = 130666.068105581m²