Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8981 / 26107
↖ ↑ ↗
← S 72.379084°
W 81.331787°		 ← 369.81 m → S 72.379084°
W 81.320801°		 →
↑
369.77 m
↓
↑
369.77 m
↓
S 72.382410°
W 81.331787°		 ← 369.74 m →
136 734 m²		 S 72.382410°
W 81.320801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274093627929688 y=0.796737670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274093627929688 × 215)
    floor (0.274093627929688 × 32768)
    floor (8981.5)     		tx = 8981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796737670898438 × 215)
    floor (0.796737670898438 × 32768)
    floor (26107.5)     		ty = 26107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8981 / 26107 ti = "15/8981/26107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8981/26107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8981 ÷ 215
    8981 ÷ 32768     		x = 0.274078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26107 ÷ 215
    26107 ÷ 32768     		y = 0.796722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.45184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41950747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.59344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86436190002322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41950747} λ = -1.41950747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86436190002322))-π/2
    2×atan(0.154995080694213)-π/2
    2×0.153771496223656-π/2
    0.307542992447312-1.57079632675     		φ = -1.26325333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41950747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.331787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26325333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.379084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8981 KachelY 26107 -1.41950747 -1.26325333 -81.331787 -72.379084
    Oben rechts KachelX + 1 8982 KachelY 26107 -1.41931572 -1.26325333 -81.320801 -72.379084
    Unten links KachelX 8981 KachelY + 1 26108 -1.41950747 -1.26331137 -81.331787 -72.382410
    Unten rechts KachelX + 1 8982 KachelY + 1 26108 -1.41931572 -1.26331137 -81.320801 -72.382410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26325333--1.26331137) × R
    5.80400000000925e-05 × 6371000     		dl = 369.772840000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26325333--1.26331137) × R
    5.80400000000925e-05 × 6371000     		dr = 369.772840000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41950747--1.41931572) × cos(-1.26325333) × R
    0.000191750000000157 × 0.302717831365768 × 6371000     		do = 369.811984471606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41950747--1.41931572) × cos(-1.26331137) × R
    0.000191750000000157 × 0.302662514079688 × 6371000     		du = 369.744406703727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26325333)-sin(-1.26331137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302717831365768-0.302662514079688)×R²
    abs(-1.41931572--1.41950747)×5.53172860802698e-05×R²
    0.000191750000000157×5.53172860802698e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.53172860802698e-05×40589641000000     		ar = 136733.933590953m²