Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8980 / 26126
↖ ↑ ↗
← S 72.442164°
W 81.342773°		 ← 368.53 m → S 72.442164°
W 81.331787°		 →
↑
368.50 m
↓
↑
368.50 m
↓
S 72.445478°
W 81.342773°		 ← 368.46 m →
135 790 m²		 S 72.445478°
W 81.331787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274063110351562 y=0.797317504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274063110351562 × 215)
    floor (0.274063110351562 × 32768)
    floor (8980.5)     		tx = 8980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797317504882812 × 215)
    floor (0.797317504882812 × 32768)
    floor (26126.5)     		ty = 26126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8980 / 26126 ti = "15/8980/26126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8980/26126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8980 ÷ 215
    8980 ÷ 32768     		x = 0.2740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26126 ÷ 215
    26126 ÷ 32768     		y = 0.79730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41969922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.5946044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86800510439435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41969922} λ = -1.41969922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86800510439435))-π/2
    2×atan(0.15443142931076)-π/2
    2×0.153221021130534-π/2
    0.306442042261068-1.57079632675     		φ = -1.26435428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41969922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.342773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26435428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.442164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8980 KachelY 26126 -1.41969922 -1.26435428 -81.342773 -72.442164
    Oben rechts KachelX + 1 8981 KachelY 26126 -1.41950747 -1.26435428 -81.331787 -72.442164
    Unten links KachelX 8980 KachelY + 1 26127 -1.41969922 -1.26441212 -81.342773 -72.445478
    Unten rechts KachelX + 1 8981 KachelY + 1 26127 -1.41950747 -1.26441212 -81.331787 -72.445478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26435428--1.26441212) × R
    5.78399999999757e-05 × 6371000     		dl = 368.498639999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26435428--1.26441212) × R
    5.78399999999757e-05 × 6371000     		dr = 368.498639999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41969922--1.41950747) × cos(-1.26435428) × R
    0.000191749999999935 × 0.301668354443693 × 6371000     		do = 368.529902271202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41969922--1.41950747) × cos(-1.26441212) × R
    0.000191749999999935 × 0.301613208535581 × 6371000     		du = 368.462533865375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26435428)-sin(-1.26441212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301668354443693-0.301613208535581)×R²
    abs(-1.41950747--1.41969922)×5.51459081123418e-05×R²
    0.000191749999999935×5.51459081123418e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.51459081123418e-05×40589641000000     		ar = 135790.355241368m²