Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 898 / 638
↖ ↑ ↗
← N 76.880775°
W101.074219°		 ← 2 218.25 m → N 76.880775°
W100.986328°		 →
↑
2 219.91 m
↓
↑
2 219.91 m
↓
N 76.860811°
W101.074219°		 ← 2 221.57 m →
4 928 008 m²		 N 76.860811°
W100.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2193603515625 y=0.1558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2193603515625 × 212)
    floor (0.2193603515625 × 4096)
    floor (898.5)     		tx = 898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1558837890625 × 212)
    floor (0.1558837890625 × 4096)
    floor (638.5)     		ty = 638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 898 / 638 ti = "12/898/638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/898/638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 898 ÷ 212
    898 ÷ 4096     		x = 0.21923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 638 ÷ 212
    638 ÷ 4096     		y = 0.15576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76407791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    0.6884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76407791} λ = -1.76407791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16291291085693))-π/2
    2×atan(8.6964327327532)-π/2
    2×1.45630948727728-π/2
    2.91261897455455-1.57079632675     		φ = 1.34182265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76407791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34182265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.880775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 898 KachelY 638 -1.76407791 1.34182265 -101.074219 76.880775
    Oben rechts KachelX + 1 899 KachelY 638 -1.76254393 1.34182265 -100.986328 76.880775
    Unten links KachelX 898 KachelY + 1 639 -1.76407791 1.34147421 -101.074219 76.860811
    Unten rechts KachelX + 1 899 KachelY + 1 639 -1.76254393 1.34147421 -100.986328 76.860811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34182265-1.34147421) × R
    0.000348440000000005 × 6371000     		dl = 2219.91124000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34182265-1.34147421) × R
    0.000348440000000005 × 6371000     		dr = 2219.91124000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76407791--1.76254393) × cos(1.34182265) × R
    0.00153397999999982 × 0.226978107226564 × 6371000     		do = 2218.25399587875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76407791--1.76254393) × cos(1.34147421) × R
    0.00153397999999982 × 0.227317439108434 × 6371000     		du = 2221.57028180644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34182265)-sin(1.34147421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226978107226564-0.227317439108434)×R²
    abs(-1.76254393--1.76407791)×0.000339331881870686×R²
    0.00153397999999982×0.000339331881870686×6371000²
    0.00153397999999982×0.000339331881870686×40589641000000     		ar = 4928007.95868561m²