Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8979 / 26111
↖ ↑ ↗
← S 72.392383°
W 81.353760°		 ← 369.54 m → S 72.392383°
W 81.342773°		 →
↑
369.52 m
↓
↑
369.52 m
↓
S 72.395706°
W 81.353760°		 ← 369.47 m →
136 540 m²		 S 72.395706°
W 81.342773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274032592773438 y=0.796859741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274032592773438 × 215)
    floor (0.274032592773438 × 32768)
    floor (8979.5)     		tx = 8979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796859741210938 × 215)
    floor (0.796859741210938 × 32768)
    floor (26111.5)     		ty = 26111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8979 / 26111 ti = "15/8979/26111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8979/26111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8979 ÷ 215
    8979 ÷ 32768     		x = 0.274017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26111 ÷ 215
    26111 ÷ 32768     		y = 0.796844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.45196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41989097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.59368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86512889041714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41989097} λ = -1.41989097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86512889041714))-π/2
    2×atan(0.154876246534371)-π/2
    2×0.153655447812982-π/2
    0.307310895625965-1.57079632675     		φ = -1.26348543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41989097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.353760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26348543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.392383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8979 KachelY 26111 -1.41989097 -1.26348543 -81.353760 -72.392383
    Oben rechts KachelX + 1 8980 KachelY 26111 -1.41969922 -1.26348543 -81.342773 -72.392383
    Unten links KachelX 8979 KachelY + 1 26112 -1.41989097 -1.26354343 -81.353760 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 8980 KachelY + 1 26112 -1.41969922 -1.26354343 -81.342773 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26348543--1.26354343) × R
    5.79999999998915e-05 × 6371000     		dl = 369.517999999309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26348543--1.26354343) × R
    5.79999999998915e-05 × 6371000     		dr = 369.517999999309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41989097--1.41969922) × cos(-1.26348543) × R
    0.000191749999999935 × 0.302496613293852 × 6371000     		do = 369.541735791716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41989097--1.41969922) × cos(-1.26354343) × R
    0.000191749999999935 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 369.474199621442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26348543)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302496613293852-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.41969922--1.41989097)×5.52832354344113e-05×R²
    0.000191749999999935×5.52832354344113e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.52832354344113e-05×40589641000000     		ar = 136539.845248773m²