Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8978 / 6738
↖ ↑ ↗
← N 80.573547°
W130.682373°		 ← 100.04 m → N 80.573547°
W130.676880°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 80.572647°
W130.682373°		 ← 100.05 m →
10 013 m²		 N 80.572647°
W130.676880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137001037597656 y=0.102821350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137001037597656 × 216)
    floor (0.137001037597656 × 65536)
    floor (8978.5)     		tx = 8978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102821350097656 × 216)
    floor (0.102821350097656 × 65536)
    floor (6738.5)     		ty = 6738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8978 / 6738 ti = "16/8978/6738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8978/6738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8978 ÷ 216
    8978 ÷ 65536     		x = 0.136993408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6738 ÷ 216
    6738 ÷ 65536     		y = 0.102813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.72601318359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.28083768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102813720703125 × 2 - 1) × π
    0.79437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49559499422012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28083768} λ = -2.28083768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49559499422012))-π/2
    2×atan(12.1289480260532)-π/2
    2×1.48853500143238-π/2
    2.97707000286476-1.57079632675     		φ = 1.40627368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28083768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.682373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40627368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.573547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8978 KachelY 6738 -2.28083768 1.40627368 -130.682373 80.573547
    Oben rechts KachelX + 1 8979 KachelY 6738 -2.28074181 1.40627368 -130.676880 80.573547
    Unten links KachelX 8978 KachelY + 1 6739 -2.28083768 1.40625797 -130.682373 80.572647
    Unten rechts KachelX + 1 8979 KachelY + 1 6739 -2.28074181 1.40625797 -130.676880 80.572647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40627368-1.40625797) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40627368-1.40625797) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28083768--2.28074181) × cos(1.40627368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163781442331099 × 6371000     		do = 100.035701928793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28083768--2.28074181) × cos(1.40625797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163796940173248 × 6371000     		du = 100.04516782124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40627368)-sin(1.40625797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163781442331099-0.163796940173248)×R²
    abs(-2.28074181--2.28083768)×1.54978421494367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54978421494367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54978421494367e-05×40589641000000     		ar = 10012.8880625655m²