Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8978 / 26124
↖ ↑ ↗
← S 72.435534°
W 81.364746°		 ← 368.65 m → S 72.435534°
W 81.353760°		 →
↑
368.69 m
↓
↑
368.69 m
↓
S 72.438850°
W 81.364746°		 ← 368.58 m →
135 903 m²		 S 72.438850°
W 81.353760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274002075195312 y=0.797256469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274002075195312 × 215)
    floor (0.274002075195312 × 32768)
    floor (8978.5)     		tx = 8978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797256469726562 × 215)
    floor (0.797256469726562 × 32768)
    floor (26124.5)     		ty = 26124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8978 / 26124 ti = "15/8978/26124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8978/26124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8978 ÷ 215
    8978 ÷ 32768     		x = 0.27398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26124 ÷ 215
    26124 ÷ 32768     		y = 0.7972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42008271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42008271} λ = -1.42008271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86762160919739))-π/2
    2×atan(0.154490664379616)-π/2
    2×0.15327887588813-π/2
    0.30655775177626-1.57079632675     		φ = -1.26423857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42008271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.364746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26423857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.435534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8978 KachelY 26124 -1.42008271 -1.26423857 -81.364746 -72.435534
    Oben rechts KachelX + 1 8979 KachelY 26124 -1.41989097 -1.26423857 -81.353760 -72.435534
    Unten links KachelX 8978 KachelY + 1 26125 -1.42008271 -1.26429644 -81.364746 -72.438850
    Unten rechts KachelX + 1 8979 KachelY + 1 26125 -1.41989097 -1.26429644 -81.353760 -72.438850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26423857--1.26429644) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dl = 368.689770000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26423857--1.26429644) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000     		dr = 368.689770000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42008271--1.41989097) × cos(-1.26423857) × R
    0.000191739999999996 × 0.30177867183341 × 6371000     		do = 368.645444005373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42008271--1.41989097) × cos(-1.26429644) × R
    0.000191739999999996 × 0.301723499342584 × 6371000     		du = 368.578046640099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26423857)-sin(-1.26429644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30177867183341-0.301723499342584)×R²
    abs(-1.41989097--1.42008271)×5.51724908262052e-05×R²
    0.000191739999999996×5.51724908262052e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.51724908262052e-05×40589641000000     		ar = 135903.379641083m²