Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8974 / 11993
↖ ↑ ↗
← S 63.792192°
E 17.182617°		 ← 1 079.02 m → S 63.792192°
E 17.204590°		 →
↑
1 078.80 m
↓
↑
1 078.80 m
↓
S 63.801893°
E 17.182617°		 ← 1 078.65 m →
1 163 849 m²		 S 63.801893°
E 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547760009765625 y=0.732025146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547760009765625 × 214)
    floor (0.547760009765625 × 16384)
    floor (8974.5)     		tx = 8974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732025146484375 × 214)
    floor (0.732025146484375 × 16384)
    floor (11993.5)     		ty = 11993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8974 / 11993 ti = "14/8974/11993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8974/11993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8974 ÷ 214
    8974 ÷ 16384     		x = 0.5477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11993 ÷ 214
    11993 ÷ 16384     		y = 0.73199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5477294921875 × 2 - 1) × π
    0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45766524364667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29989324} λ = 0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45766524364667))-π/2
    2×atan(0.232779123310652)-π/2
    2×0.228706274528002-π/2
    0.457412549056004-1.57079632675     		φ = -1.11338378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11338378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.792192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8974 KachelY 11993 0.29989324 -1.11338378 17.182617 -63.792192
    Oben rechts KachelX + 1 8975 KachelY 11993 0.30027674 -1.11338378 17.204590 -63.792192
    Unten links KachelX 8974 KachelY + 1 11994 0.29989324 -1.11355311 17.182617 -63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 8975 KachelY + 1 11994 0.30027674 -1.11355311 17.204590 -63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11338378--1.11355311) × R
    0.000169330000000079 × 6371000     		dl = 1078.8014300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11338378--1.11355311) × R
    0.000169330000000079 × 6371000     		dr = 1078.8014300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29989324-0.30027674) × cos(-1.11338378) × R
    0.000383499999999981 × 0.441628129549486 × 6371000     		do = 1079.02051392342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29989324-0.30027674) × cos(-1.11355311) × R
    0.000383499999999981 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 1078.64930930755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11338378)-sin(-1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441628129549486-0.441476200649088)×R²
    abs(0.30027674-0.29989324)×0.000151928900398834×R²
    0.000383499999999981×0.000151928900398834×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151928900398834×40589641000000     		ar = 1163848.64816666m²