Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8972 / 5389
↖ ↑ ↗
← N 76.150850°
W 81.430664°		 ← 292.42 m → N 76.150850°
W 81.419678°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 76.148220°
W 81.430664°		 ← 292.47 m →
85 520 m²		 N 76.148220°
W 81.419678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273818969726562 y=0.164474487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273818969726562 × 215)
    floor (0.273818969726562 × 32768)
    floor (8972.5)     		tx = 8972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164474487304688 × 215)
    floor (0.164474487304688 × 32768)
    floor (5389.5)     		ty = 5389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8972 / 5389 ti = "15/8972/5389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8972/5389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8972 ÷ 215
    8972 ÷ 32768     		x = 0.2738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5389 ÷ 215
    5389 ÷ 32768     		y = 0.164459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42123320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164459228515625 × 2 - 1) × π
    0.67108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10826484529007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42123320} λ = -1.42123320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10826484529007))-π/2
    2×atan(8.23394171947962)-π/2
    2×1.44993969323931-π/2
    2.89987938647862-1.57079632675     		φ = 1.32908306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42123320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.430664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32908306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.150850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8972 KachelY 5389 -1.42123320 1.32908306 -81.430664 76.150850
    Oben rechts KachelX + 1 8973 KachelY 5389 -1.42104145 1.32908306 -81.419678 76.150850
    Unten links KachelX 8972 KachelY + 1 5390 -1.42123320 1.32903716 -81.430664 76.148220
    Unten rechts KachelX + 1 8973 KachelY + 1 5390 -1.42104145 1.32903716 -81.419678 76.148220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32908306-1.32903716) × R
    4.59000000001542e-05 × 6371000     		dl = 292.428900000982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32908306-1.32903716) × R
    4.59000000001542e-05 × 6371000     		dr = 292.428900000982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42123320--1.42104145) × cos(1.32908306) × R
    0.000191750000000157 × 0.239366437849773 × 6371000     		do = 292.419435610208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42123320--1.42104145) × cos(1.32903716) × R
    0.000191750000000157 × 0.239411003252545 × 6371000     		du = 292.473878455426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32908306)-sin(1.32903716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239366437849773-0.239411003252545)×R²
    abs(-1.42104145--1.42123320)×4.45654027716458e-05×R²
    0.000191750000000157×4.45654027716458e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.45654027716458e-05×40589641000000     		ar = 85519.8542401747m²