Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8970 / 6920
↖ ↑ ↗
← N 80.408388°
W130.726318°		 ← 101.77 m → N 80.408388°
W130.720825°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 80.407473°
W130.726318°		 ← 101.78 m →
10 355 m²		 N 80.407473°
W130.720825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136878967285156 y=0.105598449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136878967285156 × 216)
    floor (0.136878967285156 × 65536)
    floor (8970.5)     		tx = 8970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105598449707031 × 216)
    floor (0.105598449707031 × 65536)
    floor (6920.5)     		ty = 6920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8970 / 6920 ti = "16/8970/6920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8970/6920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8970 ÷ 216
    8970 ÷ 65536     		x = 0.136871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6920 ÷ 216
    6920 ÷ 65536     		y = 0.1055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.72625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28160467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1055908203125 × 2 - 1) × π
    0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28160467} λ = -2.28160467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47814596275842))-π/2
    2×atan(11.9191453800029)-π/2
    2×1.48709372050598-π/2
    2.97418744101195-1.57079632675     		φ = 1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28160467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.726318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8970 KachelY 6920 -2.28160467 1.40339111 -130.726318 80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 8971 KachelY 6920 -2.28150880 1.40339111 -130.720825 80.408388
    Unten links KachelX 8970 KachelY + 1 6921 -2.28160467 1.40337514 -130.726318 80.407473
    Unten rechts KachelX + 1 8971 KachelY + 1 6921 -2.28150880 1.40337514 -130.720825 80.407473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339111-1.40337514) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339111-1.40337514) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28160467--2.28150880) × cos(1.40339111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 101.772147898015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28160467--2.28150880) × cos(1.40337514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166640150317964 × 6371000     		du = 101.781765805172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339111)-sin(1.40337514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166640150317964)×R²
    abs(-2.28150880--2.28160467)×1.5746725178345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5746725178345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5746725178345e-05×40589641000000     		ar = 10355.2832441601m²