Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 897 / 707
↖ ↑ ↗
← N 48.574790°
W 22.324219°		 ← 12.932 km → N 48.574790°
W 22.148438°		 →
↑
12.947 km
↓
↑
12.947 km
↓
N 48.458352°
W 22.324219°		 ← 12.962 km →
167.633 km²		 N 48.458352°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438232421875 y=0.345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438232421875 × 211)
    floor (0.438232421875 × 2048)
    floor (897.5)     		tx = 897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345458984375 × 211)
    floor (0.345458984375 × 2048)
    floor (707.5)     		ty = 707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 897 / 707 ti = "11/897/707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/897/707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 897 ÷ 211
    897 ÷ 2048     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 707 ÷ 211
    707 ÷ 2048     		y = 0.34521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34521484375 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972543819491699))-π/2
    2×atan(2.64466345622225)-π/2
    2×1.20929317209337-π/2
    2.41858634418674-1.57079632675     		φ = 0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 897 KachelY 707 -0.38963112 0.84779002 -22.324219 48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 898 KachelY 707 -0.38656316 0.84779002 -22.148438 48.574790
    Unten links KachelX 897 KachelY + 1 708 -0.38963112 0.84575779 -22.324219 48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 898 KachelY + 1 708 -0.38656316 0.84575779 -22.148438 48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84779002-0.84575779) × R
    0.00203223000000008 × 6371000     		dl = 12947.3373300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84779002-0.84575779) × R
    0.00203223000000008 × 6371000     		dr = 12947.3373300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(0.84779002) × R
    0.00306795999999998 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 12932.4337931825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(0.84575779) × R
    0.00306795999999998 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 12962.1913531927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84779002)-sin(0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.38656316--0.38963112)×0.00152243941842023×R²
    0.00306795999999998×0.00152243941842023×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152243941842023×40589641000000     		ar = 167633281.095226m²