Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8969 / 6919
↖ ↑ ↗
← N 80.409303°
W130.731812°		 ← 101.77 m → N 80.409303°
W130.726318°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.408388°
W130.731812°		 ← 101.78 m →
10 362 m²		 N 80.408388°
W130.726318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136863708496094 y=0.105583190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136863708496094 × 216)
    floor (0.136863708496094 × 65536)
    floor (8969.5)     		tx = 8969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105583190917969 × 216)
    floor (0.105583190917969 × 65536)
    floor (6919.5)     		ty = 6919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8969 / 6919 ti = "16/8969/6919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8969/6919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8969 ÷ 216
    8969 ÷ 65536     		x = 0.136856079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6919 ÷ 216
    6919 ÷ 65536     		y = 0.105575561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.726287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28170055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105575561523438 × 2 - 1) × π
    0.788848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47824183655766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28170055} λ = -2.28170055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47824183655766))-π/2
    2×atan(11.9202881685351)-π/2
    2×1.48710170758556-π/2
    2.97420341517111-1.57079632675     		φ = 1.40340709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28170055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.731812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40340709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.409303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8969 KachelY 6919 -2.28170055 1.40340709 -130.731812 80.409303
    Oben rechts KachelX + 1 8970 KachelY 6919 -2.28160467 1.40340709 -130.726318 80.409303
    Unten links KachelX 8969 KachelY + 1 6920 -2.28170055 1.40339111 -130.731812 80.408388
    Unten rechts KachelX + 1 8970 KachelY + 1 6920 -2.28160467 1.40339111 -130.726318 80.408388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40340709-1.40339111) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40340709-1.40339111) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28170055--2.28160467) × cos(1.40340709) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		do = 101.773138579228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28170055--2.28160467) × cos(1.40339111) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		du = 101.782763538704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40340709)-sin(1.40339111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16660864696488-0.166624403592785)×R²
    abs(-2.28160467--2.28170055)×1.57566279053167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57566279053167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57566279053167e-05×40589641000000     		ar = 10361.8686725112m²