Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8968 / 11972
↖ ↑ ↗
← S 63.587675°
E 17.050781°		 ← 1 086.84 m → S 63.587675°
E 17.072754°		 →
↑
1 086.64 m
↓
↑
1 086.64 m
↓
S 63.597448°
E 17.050781°		 ← 1 086.47 m →
1 180 797 m²		 S 63.597448°
E 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547393798828125 y=0.730743408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547393798828125 × 214)
    floor (0.547393798828125 × 16384)
    floor (8968.5)     		tx = 8968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730743408203125 × 214)
    floor (0.730743408203125 × 16384)
    floor (11972.5)     		ty = 11972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8968 / 11972 ti = "14/8968/11972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8968/11972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8968 ÷ 214
    8968 ÷ 16384     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11972 ÷ 214
    11972 ÷ 16384     		y = 0.730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4496118445105))-π/2
    2×atan(0.234661355511811)-π/2
    2×0.23049101461585-π/2
    0.460982029231701-1.57079632675     		φ = -1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8968 KachelY 11972 0.29759227 -1.10981430 17.050781 -63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 8969 KachelY 11972 0.29797577 -1.10981430 17.072754 -63.587675
    Unten links KachelX 8968 KachelY + 1 11973 0.29759227 -1.10998486 17.050781 -63.597448
    Unten rechts KachelX + 1 8969 KachelY + 1 11973 0.29797577 -1.10998486 17.072754 -63.597448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10981430--1.10998486) × R
    0.000170559999999931 × 6371000     		dl = 1086.63775999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10981430--1.10998486) × R
    0.000170559999999931 × 6371000     		dr = 1086.63775999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29797577) × cos(-1.10981430) × R
    0.000383499999999981 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 1086.83829845455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29797577) × cos(-1.10998486) × R
    0.000383499999999981 × 0.444675077568845 × 6371000     		du = 1086.46505650974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10981430)-sin(-1.10998486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444675077568845)×R²
    abs(0.29797577-0.29759227)×0.000152762750873836×R²
    0.000383499999999981×0.000152762750873836×6371000²
    0.000383499999999981×0.000152762750873836×40589641000000     		ar = 1180796.7475822m²