Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8967 / 6357
↖ ↑ ↗
← N 80.910220°
W130.742798°		 ← 96.50 m → N 80.910220°
W130.737305°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.909352°
W130.742798°		 ← 96.51 m →
9 315 m²		 N 80.909352°
W130.737305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136833190917969 y=0.0970077514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136833190917969 × 216)
    floor (0.136833190917969 × 65536)
    floor (8967.5)     		tx = 8967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970077514648438 × 216)
    floor (0.0970077514648438 × 65536)
    floor (6357.5)     		ty = 6357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8967 / 6357 ti = "16/8967/6357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8967/6357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8967 ÷ 216
    8967 ÷ 65536     		x = 0.136825561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6357 ÷ 216
    6357 ÷ 65536     		y = 0.0970001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136825561523438 × 2 - 1) × π
    -0.726348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28189230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970001220703125 × 2 - 1) × π
    0.805999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53212291173061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28189230} λ = -2.28189230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53212291173061))-π/2
    2×atan(12.5801844299175)-π/2
    2×1.49147302831774-π/2
    2.98294605663549-1.57079632675     		φ = 1.41214973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28189230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.742798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41214973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.910220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8967 KachelY 6357 -2.28189230 1.41214973 -130.742798 80.910220
    Oben rechts KachelX + 1 8968 KachelY 6357 -2.28179642 1.41214973 -130.737305 80.910220
    Unten links KachelX 8967 KachelY + 1 6358 -2.28189230 1.41213458 -130.742798 80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 8968 KachelY + 1 6358 -2.28179642 1.41213458 -130.737305 80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41214973-1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41214973-1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28189230--2.28179642) × cos(1.41214973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		do = 96.5035046361321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28189230--2.28179642) × cos(1.41213458) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 96.5126428082333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41214973)-sin(1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157981944541078-0.157996904269261)×R²
    abs(-2.28179642--2.28189230)×1.49597281833835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49597281833835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49597281833835e-05×40589641000000     		ar = 9315.02200623622m²