Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8960 / 7886
↖ ↑ ↗
← N  6.708254°
E 16.875000°		 ← 2 426.55 m → N  6.708254°
E 16.896973°		 →
↑
2 426.59 m
↓
↑
2 426.59 m
↓
N  6.686431°
E 16.875000°		 ← 2 426.66 m →
5 888 369 m²		 N  6.686431°
E 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546905517578125 y=0.481353759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546905517578125 × 214)
    floor (0.546905517578125 × 16384)
    floor (8960.5)     		tx = 8960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481353759765625 × 214)
    floor (0.481353759765625 × 16384)
    floor (7886.5)     		ty = 7886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8960 / 7886 ti = "14/8960/7886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8960/7886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8960 ÷ 214
    8960 ÷ 16384     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7886 ÷ 214
    7886 ÷ 16384     		y = 0.4813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.117349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117349530269897))-π/2
    2×atan(1.12451241213382)-π/2
    2×0.84393872280243-π/2
    1.68787744560486-1.57079632675     		φ = 0.11708112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11708112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.708254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8960 KachelY 7886 0.29452431 0.11708112 16.875000 6.708254
    Oben rechts KachelX + 1 8961 KachelY 7886 0.29490781 0.11708112 16.896973 6.708254
    Unten links KachelX 8960 KachelY + 1 7887 0.29452431 0.11670024 16.875000 6.686431
    Unten rechts KachelX + 1 8961 KachelY + 1 7887 0.29490781 0.11670024 16.896973 6.686431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11708112-0.11670024) × R
    0.00038088 × 6371000     		dl = 2426.58648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11708112-0.11670024) × R
    0.00038088 × 6371000     		dr = 2426.58648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29490781) × cos(0.11708112) × R
    0.000383499999999981 × 0.993153831632787 × 6371000     		do = 2426.55140402089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29490781) × cos(0.11670024) × R
    0.000383499999999981 × 0.993198251638288 × 6371000     		du = 2426.6599344653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11708112)-sin(0.11670024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993153831632787-0.993198251638288)×R²
    abs(0.29490781-0.29452431)×4.44200055016442e-05×R²
    0.000383499999999981×4.44200055016442e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.44200055016442e-05×40589641000000     		ar = 5888368.58046177m²