Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 896 / 1146
↖ ↑ ↗
← N 78.116408°
W140.625000°		 ← 1 006.25 m → N 78.116408°
W140.581055°		 →
↑
1 006.62 m
↓
↑
1 006.62 m
↓
N 78.107355°
W140.625000°		 ← 1 007 m →
1 013 286 m²		 N 78.107355°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10943603515625 y=0.13995361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10943603515625 × 213)
    floor (0.10943603515625 × 8192)
    floor (896.5)     		tx = 896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13995361328125 × 213)
    floor (0.13995361328125 × 8192)
    floor (1146.5)     		ty = 1146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 896 / 1146 ti = "13/896/1146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/896/1146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 896 ÷ 213
    896 ÷ 8192     		x = 0.109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1146 ÷ 213
    1146 ÷ 8192     		y = 0.139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109375 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139892578125 × 2 - 1) × π
    0.72021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26262166206665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45436926} λ = -2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26262166206665))-π/2
    2×atan(9.6082457497352)-π/2
    2×1.46709242288946-π/2
    2.93418484577891-1.57079632675     		φ = 1.36338852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36338852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.116408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 896 KachelY 1146 -2.45436926 1.36338852 -140.625000 78.116408
    Oben rechts KachelX + 1 897 KachelY 1146 -2.45360227 1.36338852 -140.581055 78.116408
    Unten links KachelX 896 KachelY + 1 1147 -2.45436926 1.36323052 -140.625000 78.107355
    Unten rechts KachelX + 1 897 KachelY + 1 1147 -2.45360227 1.36323052 -140.581055 78.107355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36338852-1.36323052) × R
    0.000158000000000103 × 6371000     		dl = 1006.61800000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36338852-1.36323052) × R
    0.000158000000000103 × 6371000     		dr = 1006.61800000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45436926--2.45360227) × cos(1.36338852) × R
    0.000766989999999801 × 0.205923957224646 × 6371000     		do = 1006.24603522822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45436926--2.45360227) × cos(1.36323052) × R
    0.000766989999999801 × 0.206078568397113 × 6371000     		du = 1007.00154168504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36338852)-sin(1.36323052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205923957224646-0.206078568397113)×R²
    abs(-2.45360227--2.45436926)×0.000154611172466373×R²
    0.000766989999999801×0.000154611172466373×6371000²
    0.000766989999999801×0.000154611172466373×40589641000000     		ar = 1013285.62679767m²