Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8958 / 7882
↖ ↑ ↗
← N  6.795535°
E 16.831055°		 ← 2 426.11 m → N  6.795535°
E 16.853028°		 →
↑
2 426.14 m
↓
↑
2 426.14 m
↓
N  6.773716°
E 16.831055°		 ← 2 426.22 m →
5 886 226 m²		 N  6.773716°
E 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546783447265625 y=0.481109619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546783447265625 × 214)
    floor (0.546783447265625 × 16384)
    floor (8958.5)     		tx = 8958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481109619140625 × 214)
    floor (0.481109619140625 × 16384)
    floor (7882.5)     		ty = 7882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8958 / 7882 ti = "14/8958/7882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8958/7882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8958 ÷ 214
    8958 ÷ 16384     		x = 0.5467529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7882 ÷ 214
    7882 ÷ 16384     		y = 0.4810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5467529296875 × 2 - 1) × π
    0.093505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29375732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29375732} λ = 0.29375732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118883511057739))-π/2
    2×atan(1.12623871628992)-π/2
    2×0.844700393712463-π/2
    1.68940078742493-1.57079632675     		φ = 0.11860446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29375732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.831055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11860446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.795535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8958 KachelY 7882 0.29375732 0.11860446 16.831055 6.795535
    Oben rechts KachelX + 1 8959 KachelY 7882 0.29414082 0.11860446 16.853028 6.795535
    Unten links KachelX 8958 KachelY + 1 7883 0.29375732 0.11822365 16.831055 6.773716
    Unten rechts KachelX + 1 8959 KachelY + 1 7883 0.29414082 0.11822365 16.853028 6.773716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11860446-0.11822365) × R
    0.000380809999999995 × 6371000     		dl = 2426.14050999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11860446-0.11822365) × R
    0.000380809999999995 × 6371000     		dr = 2426.14050999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29375732-0.29414082) × cos(0.11860446) × R
    0.000383500000000037 × 0.992974732210316 × 6371000     		do = 2426.11381425295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29375732-0.29414082) × cos(0.11822365) × R
    0.000383500000000037 × 0.993019720158085 × 6371000     		du = 2426.2237323385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11860446)-sin(0.11822365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992974732210316-0.993019720158085)×R²
    abs(0.29414082-0.29375732)×4.49879477694148e-05×R²
    0.000383500000000037×4.49879477694148e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.49879477694148e-05×40589641000000     		ar = 5886226.4161229m²