Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8955 / 26106
↖ ↑ ↗
← S 72.375758°
W 81.617432°		 ← 369.88 m → S 72.375758°
W 81.606445°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
S 72.379084°
W 81.617432°		 ← 369.81 m →
136 782 m²		 S 72.379084°
W 81.606445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273300170898438 y=0.796707153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273300170898438 × 215)
    floor (0.273300170898438 × 32768)
    floor (8955.5)     		tx = 8955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796707153320312 × 215)
    floor (0.796707153320312 × 32768)
    floor (26106.5)     		ty = 26106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8955 / 26106 ti = "15/8955/26106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8955/26106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8955 ÷ 215
    8955 ÷ 32768     		x = 0.273284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26106 ÷ 215
    26106 ÷ 32768     		y = 0.79669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.45343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42449291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.5933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86417015242474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42449291} λ = -1.42449291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86417015242474))-π/2
    2×atan(0.155024803478258)-π/2
    2×0.153800521583957-π/2
    0.307601043167914-1.57079632675     		φ = -1.26319528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42449291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.617432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26319528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.375758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8955 KachelY 26106 -1.42449291 -1.26319528 -81.617432 -72.375758
    Oben rechts KachelX + 1 8956 KachelY 26106 -1.42430116 -1.26319528 -81.606445 -72.375758
    Unten links KachelX 8955 KachelY + 1 26107 -1.42449291 -1.26325333 -81.617432 -72.379084
    Unten rechts KachelX + 1 8956 KachelY + 1 26107 -1.42430116 -1.26325333 -81.606445 -72.379084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26319528--1.26325333) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dl = 369.836550000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26319528--1.26325333) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dr = 369.836550000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42449291--1.42430116) × cos(-1.26319528) × R
    0.000191749999999935 × 0.302773157162727 × 6371000     		do = 369.87957263628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42449291--1.42430116) × cos(-1.26325333) × R
    0.000191749999999935 × 0.302717831365768 × 6371000     		du = 369.811984471178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26319528)-sin(-1.26325333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302773157162727-0.302717831365768)×R²
    abs(-1.42430116--1.42449291)×5.53257969588272e-05×R²
    0.000191749999999935×5.53257969588272e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.53257969588272e-05×40589641000000     		ar = 136782.486810675m²