Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8954 / 7888
↖ ↑ ↗
← N  6.664608°
E 16.743164°		 ← 2 426.77 m → N  6.664608°
E 16.765137°		 →
↑
2 426.84 m
↓
↑
2 426.84 m
↓
N  6.642783°
E 16.743164°		 ← 2 426.88 m →
5 889 512 m²		 N  6.642783°
E 16.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546539306640625 y=0.481475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546539306640625 × 214)
    floor (0.546539306640625 × 16384)
    floor (8954.5)     		tx = 8954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481475830078125 × 214)
    floor (0.481475830078125 × 16384)
    floor (7888.5)     		ty = 7888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8954 / 7888 ti = "14/8954/7888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8954/7888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8954 ÷ 214
    8954 ÷ 16384     		x = 0.5465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7888 ÷ 214
    7888 ÷ 16384     		y = 0.4814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5465087890625 × 2 - 1) × π
    0.093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29222334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29222334} λ = 0.29222334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116582539875977))-π/2
    2×atan(1.12365025259218)-π/2
    2×0.843557836052406-π/2
    1.68711567210481-1.57079632675     		φ = 0.11631935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29222334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.743164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11631935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8954 KachelY 7888 0.29222334 0.11631935 16.743164 6.664608
    Oben rechts KachelX + 1 8955 KachelY 7888 0.29260684 0.11631935 16.765137 6.664608
    Unten links KachelX 8954 KachelY + 1 7889 0.29222334 0.11593843 16.743164 6.642783
    Unten rechts KachelX + 1 8955 KachelY + 1 7889 0.29260684 0.11593843 16.765137 6.642783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11631935-0.11593843) × R
    0.000380920000000007 × 6371000     		dl = 2426.84132000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11631935-0.11593843) × R
    0.000380920000000007 × 6371000     		dr = 2426.84132000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29222334-0.29260684) × cos(0.11631935) × R
    0.000383499999999981 × 0.993242528721517 × 6371000     		do = 2426.76811571079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29222334-0.29260684) × cos(0.11593843) × R
    0.000383499999999981 × 0.993286665178276 × 6371000     		du = 2426.87595336666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11631935)-sin(0.11593843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993242528721517-0.993286665178276)×R²
    abs(0.29260684-0.29222334)×4.41364567591584e-05×R²
    0.000383499999999981×4.41364567591584e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.41364567591584e-05×40589641000000     		ar = 5889512.06091916m²