Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8953 / 26069
↖ ↑ ↗
← S 72.252266°
W 81.639404°		 ← 372.37 m → S 72.252266°
W 81.628418°		 →
↑
372.38 m
↓
↑
372.38 m
↓
S 72.255615°
W 81.639404°		 ← 372.30 m →
138 652 m²		 S 72.255615°
W 81.628418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273239135742188 y=0.795578002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273239135742188 × 215)
    floor (0.273239135742188 × 32768)
    floor (8953.5)     		tx = 8953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795578002929688 × 215)
    floor (0.795578002929688 × 32768)
    floor (26069.5)     		ty = 26069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8953 / 26069 ti = "15/8953/26069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8953/26069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8953 ÷ 215
    8953 ÷ 32768     		x = 0.273223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26069 ÷ 215
    26069 ÷ 32768     		y = 0.795562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.45355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42487640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795562744140625 × 2 - 1) × π
    -0.59112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85707549128098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42487640} λ = -1.42487640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85707549128098))-π/2
    2×atan(0.156128562696901)-π/2
    2×0.154878196546321-π/2
    0.309756393092642-1.57079632675     		φ = -1.26103993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42487640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.639404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26103993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.252266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8953 KachelY 26069 -1.42487640 -1.26103993 -81.639404 -72.252266
    Oben rechts KachelX + 1 8954 KachelY 26069 -1.42468466 -1.26103993 -81.628418 -72.252266
    Unten links KachelX 8953 KachelY + 1 26070 -1.42487640 -1.26109838 -81.639404 -72.255615
    Unten rechts KachelX + 1 8954 KachelY + 1 26070 -1.42468466 -1.26109838 -81.628418 -72.255615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26103993--1.26109838) × R
    5.84500000000432e-05 × 6371000     		dl = 372.384950000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26103993--1.26109838) × R
    5.84500000000432e-05 × 6371000     		dr = 372.384950000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42487640--1.42468466) × cos(-1.26103993) × R
    0.000191739999999996 × 0.304826635884312 × 6371000     		do = 372.368762336754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42487640--1.42468466) × cos(-1.26109838) × R
    0.000191739999999996 × 0.30477096712452 × 6371000     		du = 372.30075874145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26103993)-sin(-1.26109838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304826635884312-0.30477096712452)×R²
    abs(-1.42468466--1.42487640)×5.56687597919048e-05×R²
    0.000191739999999996×5.56687597919048e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.56687597919048e-05×40589641000000     		ar = 138651.861226475m²