Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8952 / 6741
↖ ↑ ↗
← N 80.570847°
W130.825195°		 ← 100.06 m → N 80.570847°
W130.819702°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 80.569947°
W130.825195°		 ← 100.07 m →
10 016 m²		 N 80.569947°
W130.819702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136604309082031 y=0.102867126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136604309082031 × 216)
    floor (0.136604309082031 × 65536)
    floor (8952.5)     		tx = 8952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102867126464844 × 216)
    floor (0.102867126464844 × 65536)
    floor (6741.5)     		ty = 6741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8952 / 6741 ti = "16/8952/6741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8952/6741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8952 ÷ 216
    8952 ÷ 65536     		x = 0.1365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6741 ÷ 216
    6741 ÷ 65536     		y = 0.102859497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28333040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102859497070312 × 2 - 1) × π
    0.794281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4953073728224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28333040} λ = -2.28333040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4953073728224))-π/2
    2×atan(12.125459982711)-π/2
    2×1.48851144456632-π/2
    2.97702288913264-1.57079632675     		φ = 1.40622656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28333040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.825195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40622656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.570847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8952 KachelY 6741 -2.28333040 1.40622656 -130.825195 80.570847
    Oben rechts KachelX + 1 8953 KachelY 6741 -2.28323453 1.40622656 -130.819702 80.570847
    Unten links KachelX 8952 KachelY + 1 6742 -2.28333040 1.40621085 -130.825195 80.569947
    Unten rechts KachelX + 1 8953 KachelY + 1 6742 -2.28323453 1.40621085 -130.819702 80.569947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40622656-1.40621085) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40622656-1.40621085) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28333040--2.28323453) × cos(1.40622656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163827925871377 × 6371000     		do = 100.064093506701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28333040--2.28323453) × cos(1.40621085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163843423592263 × 6371000     		du = 100.073559325082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40622656)-sin(1.40621085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163827925871377-0.163843423592263)×R²
    abs(-2.28323453--2.28333040)×1.54977208864371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54977208864371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54977208864371e-05×40589641000000     		ar = 10015.7297269728m²